Cho đường tròn (O;R). Vẽ dây \(AB=R\sqrt{2}\) . Tính số đo của cung nhỏ AB. \(90^o\) \(120^o\) \(150^o\) \(60^o\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(OA^2+OB^2=2R^2=AB^2\) nên theo định lý Pi-ta-go đảo, ta có \(\widehat{AOB}=90^o\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=90^o\)
Cho đường tròn (O;R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng \(\dfrac{1}{2}\) số đo của cung lớn AB. Tính diện tích tam giác AOB. \(\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\) \(\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\) \(\dfrac{R^2\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Số đo của cung nhỏ AB là: \(360^o:3.1=120^o\). Số đo của cung lớn AB là: \(360^o-120^o=240^o\). Áp dụng công thức: \(S_{\Delta AOB}=\dfrac{1}{2}OA.OB.sin\widehat{AOB}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\).
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M. Biết \(OM=\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}\). Tính số đo góc ở tâm AOB. \(60^o\) \(120^o\) \(150^o\) \(90^o\) Hướng dẫn giải: \(cos\widehat{AOM}=\dfrac{OA}{OM}=R:\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Suy ra: \(\widehat{AOM}=30^o\) nên \(\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=60^o\).
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đường phân giác của OBO' cắt các đường tròn (O), (O') tương tự C, D. So sánh các góc ở tâm BOC và BO'D'. \(\widehat{BOC}=\widehat{BO'D'}\) \(\widehat{BOC}>\widehat{BO'D'}\) \(\widehat{BOC}< \widehat{BO'D'}\) Không so sánh được
Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. \(120^o\) \(240^o\) \(60^o\) \(180^o\) Hướng dẫn giải: \(Cos\widehat{AOM}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\) suy ra \(\widehat{AOM}=60^o\). Vì vậy \(\widehat{AOB}=120^o\).
Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và (O;R'). Qua điểm M ở ngoài (O;R), vẽ hai tiếp tuyến với (O;R'). Một tiếp tuyến cắt (O;R) tại A và B (A nằm giữa M và B); một tiếp tuyến cắt(O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). So sánh số đo hai cung AB và CD. \(sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{CD}\) \(sđ\stackrel\frown{AB}>sđ\stackrel\frown{CD}\) \(sđ\stackrel\frown{AB}< sđ\stackrel\frown{CD}\) Không so sánh được
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Biết \(\widehat{A}=40^o\). So sánh các cung nhỏ AB, AC, BC. \(\stackrel\frown{BC}< \stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\) \(\stackrel\frown{BC}< \stackrel\frown{AB}< \stackrel\frown{AC}\) \(\stackrel\frown{BC}>\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{AC}\) \(\stackrel\frown{BC}>\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\) Hướng dẫn giải: Do \(\widehat{A}=40^o\) nên \(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^o-40^o}{2}=70^o\). Vì vậy theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện ta có: \(AB=AC>BC\) nên \(\stackrel\frown{BC}< \stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\).
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính AOE, AO'F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D. Chọn câu ĐÚNG. AD // CB E, B, F thẳng hàng Các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau Tất cả các câu trên đều đúng Hướng dẫn giải: Có OO' vuông góc với AB và OO' // EF nên AB và EF vuông góc với nhau. (1) Mặt khác \(\widehat{ABE}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). nên AB vuông góc với EB. (2) Từ (1) và (2) suy ra E, B, F thẳng hàng. Tứ giác ABCE là hình bình hành nên CA // EB nên BF // CA. Ta chứng minh được CABF là hình bình hành suy ra AD // BC. Vì vậy tứ giác ADBC là hình thang và bốn điểm A, D, B, C cùng thuộc một đường tròn nên ta chứng minh được nó là hình thang cân. Suy ra: AB = CD = CE hay các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.
Cho hai mệnh đề: (1) Trong một đường tròn, hai dây bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. (2) Hình thang có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là hình thang cân. Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề dưới đây: Mệnh đề (1) đúng. Mệnh đề (2) đúng. Hai câu trên đều đúng. Hai câu trên đều sai. Hướng dẫn giải: Chứng minh mệnh đề : Trong một đường tròn, hai dây bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Ta chia thành các trường hợp: + Trường hợp 1: điểm O nằm bên trong hai đường thẳng song song + Trường hợp 2: điểm O nằm bên trên một đường thẳng song song + Trường hợp 3: điểm O nằm bên ngoài hai đường thẳng song song Từ đó ta cũng suy ra "Hình thang có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là hình thang cân".
Cho đường tròn O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song với nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N. So sánh hai dây cung AC và BD. Chọn câu SAI: AC = BD Ba điểm O, M, N thẳng hàng Tứ giác ACBD là hình vuông Tam giác AOC là tam giác đều Hướng dẫn giải: Theo tính chất từ vuông góc tới song song ta chứng minh được ba điểm M, O, N thẳng hàng. Hai đường thẳng MN và AB cắt nhau tại O. Theo định lý Ta-lét: \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{AM}{NB}=1\) nên AM = NB hay AC = DB. Suy ra tứ giác ACBD là hình bình hành nên AB và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ba điểm D, O, C thẳng hàng. Bởi vậy AB = DC ( cùng bằng đường kính của (O)). Tứ đó suy ra tứ giác ACBD là hình thoi và \(\widehat{ACB}=90^o\) (góc chắn nửa đường tròn) nên tứ giác ACBD là hình vuông. Tam giác AOC vuông cân.
