Cho đường tròn tâm (O) và dây AB. Đường kính CD đi qua điểm chính giữa của cung AB. Chọn câu đúng: (được chọn hai đáp án trở nên) \(CD\perp AB\) Đường kính CD đi qua trung điểm của AB Tứ giác ADBC là hình thang AC // BD Hướng dẫn giải: Ta chứng minh được \(\Delta ACO=\Delta BCO\left(c.c.c\right)\). Suy ra: \(\widehat{ACO}=\widehat{OCB}\) . Vì vậy \(\Delta ACI=\Delta BCI\left(c.g.c\right)\) Suy ra: \(\widehat{AIC}=\widehat{BIC}\) mà \(\widehat{AIC}+\widehat{BIC}=180^o\). Nên \(\widehat{AIC}=\widehat{BIC}=180^o:2=90^o\). Vì vậy \(CD\perp AB\). Mặt khác \(\Delta ACI=\Delta BCI\left(c.g.c\right)\) nên AI = BI (hai cạnh tương ứng).
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng \(60^o\). Tìm số đo các góc \(\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}.\) \(\widehat{B}=30^o,\widehat{A}=60^o,\widehat{C}=90^o\) \(\widehat{C}=90^o\), hai góc còn lại có số đo thay đổi \(\widehat{B}=60^o,\widehat{A}=30^o,\widehat{C}=90^o\) \(\widehat{B}=45^o,\widehat{A}=45^o,\widehat{C}=90^o\)
Cho hình vẽ sau: Biết \(\widehat{PCQ}=160^o\), B và C là tâm hai đường tròn. Tính số đo góc \(\widehat{MAN}\). \(40^o\) \(80^o\) \(20^o\) \(100^o\) Hướng dẫn giải: \(\widehat{PCQ}=160^o\) nên sđ\(\stackrel\frown{PQ}=160^o\). Suy ra: \(\widehat{PBQ}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{PQ}=80^o\). Suy ra: \(\widehat{MAN}=\dfrac{1}{2}\widehat{MBN}=40^o\).
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left(\widehat{A}< 90^o\right)\). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC ở D, cắt AC tại E. Chọn câu ĐÚNG trong các câu dưới đây: Tam giác DBE cân tại D. Tam giác DBE cân tại B. Tam giác BDE cân tại E. Tam giác BDE vuông. Hướng dẫn giải: Có \(\widehat{ADB}=90^o\) nên \(AD\perp BC\). Mà tam giác ABC cân tại A nên AD cũng là đường phân giác góc \(\widehat{A}\). Suy ra: \(\widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\). Suy ra: \(\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{DE}\) hay BD = DE. Vậy tam giác ADE cân.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Chọn câu SAI trong các câu dưới đây: \(AB^2=AD.AE\) Nếu \(\widehat{A}=40^o\) thì \(\widehat{AEB}=70^o\) Nếu tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o\) thì tam giác BDE đều \(\Delta ABD\sim\Delta AEB\) Hướng dẫn giải: Có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{AB}\\\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{AC}\\\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\end{matrix}\right.\) nên \(\widehat{AEB}=\widehat{ABC}\). Suy ra: \(\Delta ADB\sim\Delta ABE\left(g.g\right)\). Suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)\(\Leftrightarrow AB^2=AD.AE\). \(\widehat{BAC}=40^o\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-40^o}{2}=70^o\).
Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính \(MN\perp BC\) (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chọn câu đúng: Tia AM là tia phân giác trong của góc đỉnh A Tia AN là tia phân giác ngoài của góc đỉnh A \(AM\perp AN\) Tất cả các câu còn lại đều đúng
Cho đường tròn (O) và hai dây MA và MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI. Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng? Ba điểm A, O, B thẳng hàng. BP là tia phân giác góc \(\widehat{MBA}\). P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Tất cả các câu còn lại đều đúng. Hướng dẫn giải: Kẻ đường kính MM'. Tứ giác AMBM' có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Suy ra AB và MM' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay A, O, B thẳng hàng. Do I là điểm chính giữa cung MB nên \(\widehat{MAI}=\widehat{IAB}\) nên AI là tia phân giác góc \(\widehat{MAB}\). Do K là điểm chính giữa cung MA nên \(\widehat{MBK}=\widehat{KBA}\) nên BI là tia phân giác góc \(\widehat{MBA}\). Suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn câu ĐÚNG trong các câu dưới đây: Tứ giác BFCH là hình bình hành. Ba điểm H, M, F thẳng hàng. \(OM=\dfrac{1}{2}AH\). Cả ba câu còn lại đều đúng. Hướng dẫn giải: a) Do AF là đường kính nên \(BF\perp AB\Rightarrow\) BF // CH (Cùng vuông góc AB) Tương tự \(FC\perp AC\Rightarrow\) FC // BH Vậy thì tứ giác BFCH là hình bình hành. b) Do BFCH là hình bình hành nên BC giao HF tại trung điểm mỗi đường. Do M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HF. Vậy H, M, F thẳng hàng. c) Xét tam giác HFA có O là trung điểm AF, M là trung điểm HF nên OM là đường trung bình. Vậy thì \(OM=\dfrac{1}{2}AH\)
Cho đường tròn (O) có hai bán kính OA và OB vuông góc. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho \(\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}}{sđ\stackrel\frown{BC}}=\dfrac{4}{5}\). Tính số đo các góc của tam giác ABC. \(\widehat{ACB}=45^o,\widehat{ABC}=60^o,\widehat{CAB}=75^o\) \(\widehat{ACB}=90^o,\widehat{ABC}=120^o,\widehat{CAB}=150^o\) \(\widehat{ACB}=50^o,\widehat{ABC}=40^o,\widehat{CAB}=90^o\) \(\widehat{ACB}=45^o,\widehat{ABC}=50^o,\widehat{CAB}=85^o\) Hướng dẫn giải: Do hai bán kính OA và O vuông góc nên sđ\(\stackrel\frown{AB}=90^o\) vì vậy số đo cung AB lớn \(\stackrel\frown{AB}=360^o-90^o=270^o\). Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}sđ\dfrac{\stackrel\frown{AC}}{\stackrel\frown{BC}}=\dfrac{4}{5}\\sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}=270^o\end{matrix}\right.\). Từ đó ta tính được: \(sđ\stackrel\frown{AC}=270^o:\left(4+5\right).4=120^o\). \(sđ\stackrel\frown{BC}=270^o-120^o=150^o\). \(\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}=45^o\). \(\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}=\dfrac{1}{2}.120^o=60^o\). \(\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}=75^o\).
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Chọn câu đúng trong các câu dưới đây: Tia CA là tia phân giác của góc MCH. \(\widehat{ACM}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\). \(\widehat{ACM}+\widehat{BAC}=90^o\). Tất cả các câu còn lại đều đúng. Hướng dẫn giải: \(\widehat{MCA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^o\)mà \(\widehat{CAH}+\widehat{CBA}=90^o\). Suy ra: \(\widehat{ACH}=\widehat{CBA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\). Vậy \(\widehat{MCA}=\widehat{ACH}\) suy ra CA là tia phân giác góc \(\widehat{MCH}\). Từ đó suy ra: \(\widehat{ACM}+\widehat{BAC}=90^o\) và \(\widehat{ACM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\).
