Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C lên AB. Biết MC = a, MB = 3a. Tính độ dài đường kính AB. \(AB=\dfrac{8a}{3}\) \(AB=3a\) \(AB=2a\) \(AB=\dfrac{10a}{3}\) Hướng dẫn giải: \(\Delta CMA\) \(\sim\Delta BMC\) nên: \(MC^2=MA.MB\). Thay MC = a, MB = 3a ta có: \(a^2=MA.3a\Leftrightarrow MA=\dfrac{a}{3}\). Suy ra \(AB=MB-MA=3a-\dfrac{a}{3}=\dfrac{8a}{3}\).
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O') tại D. Vẽ đường tròn (I) đi qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chọn câu đúng trong các câu dưới đây: \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=180^o\) \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=90^o\) \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=120^o\) \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=270^o\) Hướng dẫn giải: Chứng minh: \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=180^o\). \(\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{DCA}+\widehat{CDA}=\widehat{CEA}+\widehat{DEA}=\widehat{CED}\). \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=\widehat{CAD}+\widehat{CED}=180^o\).
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O') tại D. Vẽ đường tròn (I) đi qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chọn câu đúng trong các câu dưới đây: Tứ giác BCED là hình bình hành Tứ giác BCED là hình vuông Tứ giác BCED là hình thoi Tứ giác BCED là hình chữ nhật Hướng dẫn giải: \(\widehat{DEA}=\widehat{DCA}=\widehat{CBA}\). Vậy \(\widehat{DEB}=\widehat{CBA}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ED // BC. Chứng minh tương tự CE // BD. Vậy tứ giác BCED là hình bình hành.
Cho đường tròn (O) và một điểm M ở bên ngoài đường tròn. Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A và B. Gọi I là một điểm thuộc tia Mx sao cho \(MI^2=MA.MB\). Hỏi điểm I di động trên đường nào? Điểm I di động trên đường tròn (M, MT) Điểm I di động trên (M, MA) Điểm I di động trên (A, AM) Điểm I di động trên (IM, MB) Hướng dẫn giải: Ta chứng minh \(MT^2=MA.MB=MI^2\) \(\Rightarrow MI=MT\) hay I di động trên đường tròn (M, MT).
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. Tính số đo góc AOI . \(30^o\) \(60^o\) \(90^o\) \(120^o\) Hướng dẫn giải: Do IC = CM nên \(\widehat{CIM}=\widehat{CMI}\). Do \(\widehat{IOM}=2\widehat{CIM}=2\widehat{CMI}\). Do \(IM\perp AM\) nên \(\widehat{IOM}+\widehat{OMI}=2\widehat{OMI}+\widehat{OMI}=3\widehat{OMI}=90^o\)\(\Leftrightarrow\widehat{OMI}=30^o\). Vậy \(\widehat{IOM}=60^o\Rightarrow\widehat{AOI}=30^o\).
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. Tính độ dài OM tính theo bán kính R. 2R 3R \(\dfrac{3R}{2}\) \(\dfrac{3R}{4}\) Hướng dẫn giải: Tam giác vuông OIM có \(\widehat{IOM}=60^o\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: \(OM.cos\widehat{IOM}=OM\Leftrightarrow OM=\dfrac{OM}{cos\widehat{IOM}}=\dfrac{R}{cos60^o}=2R\).
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho \(\stackrel\frown{AI}=\stackrel\frown{AK}\). Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng? \(\widehat{ADK}=\widehat{ACB}\) \(\widehat{ADI}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}\right)\) \(\widehat{AEI}=\widehat{ABC}\) Tất cả các câu còn lại đều đúng
Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chọn câu đúng: Các tam giác FIN và tam giác INE cân \(\widehat{IEN}=\widehat{NDC}\) \(\widehat{DNI}=\widehat{DCN}\) Tất cả các câu còn lại đều đúng Hướng dẫn giải:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE lần lượt cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chọn đáp án đúng: Tam giác AMN Tam giác EIA, tam giác IDA cân. \(MN\perp AI\) Tứ giác AMIN là hình thoi Tất cả các câu còn lại đều đúng Hướng dẫn giải: \(\widehat{AMN}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{EB}+\stackrel\frown{AD}\right)\); \(\widehat{MNA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{EA}+sđ\stackrel\frown{DC}\right)\). Mà \(sđ\stackrel\frown{EB}=sđ\stackrel\frown{EA},sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{DC}\). Nên \(\widehat{AMN}=\widehat{MNA}\). Vậy tam giác AMN cân. Do AI là tia phân giác góc \(\widehat{MAN}\) nên \(AI\perp MN\). Xét tam EAI có ED là tia phân giác của góc IEA và \(ED\perp AI\) nên tam giác AEI cân. Tương tự tam giác ADI cân tại D. Ta chưng minh được \(AI\perp MN\) tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác AIMN là hình thoi.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài (O), vẽ các cát tuyến MAC và MBD sao cho \(\widehat{CMD}=40^o\). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Biết góc \(\widehat{AEB}=70^o\). Tính số đo cung AB. \(sđ\stackrel\frown{AB}=290^o\) \(sđ\stackrel\frown{AB}=250^o\) \(sđ\stackrel\frown{AB}=200^o\) \(sđ\stackrel\frown{AB}=240^o\) Hướng dẫn giải: \(\widehat{DEB}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{DB}-sđ\stackrel\frown{AC}}{2}=70^o\) Suy ra: \(sđ\stackrel\frown{DB}-sđ\stackrel\frown{AC}=140^o\).(1) \(\widehat{AMD}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AD}-sđ\stackrel\frown{BC}}{2}\)\(=40^o\). Suy ra: \(sđ\stackrel\frown{AD}-sđ\stackrel\frown{BC}=80^o\)(2) \(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}+sđ\stackrel\frown{DB}+sđ\stackrel\frown{AD}=360^o\). (3) Cộng (1) + (2) + (3) ta được: \(2\left(sđ\stackrel\frown{DB}+sđ\stackrel\frown{AD}\right)=580^o\) \(\Leftrightarrow sđ\stackrel\frown{DB}+sđ\stackrel\frown{AD}=290^o\) \(\Leftrightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=290^o\).
