Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh của góc cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Chọn câu đúng: \(\Delta AOC\sim\Delta BDO\) \(AC.BD=R^2\) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Tất cả các câu còn lại đều đúng. Hướng dẫn giải: \(\Delta AOC\sim\Delta BDO\left(g.g\right)\) Suy ra: \(\dfrac{AO}{DB}=\dfrac{AC}{BO}\Leftrightarrow BD.AC=AO.BO=R^2\). Kẻ \(OF\perp CD\). Ta chứng minh F thuộc đường tròn CD. Có \(\widehat{COF}+\widehat{FOD}=90^o\) và \(\widehat{FOD}+\widehat{FOC}=90^o\) nên \(\widehat{COF}=\widehat{FDO}\). Suy ra: \(\widehat{AOC}=\widehat{COF}\left(=\widehat{FDO}\right)\). Xét tam giác AOC và tam giác FOC có: OC chung. \(\widehat{AOC}=\widehat{COF}\left(=\widehat{FDO}\right)\) Suy ra: \(\Delta AOC=\Delta FOD\left(ch.gn\right)\) nên OF = OA = R.
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho \(AM=R\sqrt{3}\). Vẽ tiếp tuyến MC (C là tiếp tuyến). Đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại D. Khi đó, khẳng định nào dưới đây là đúng? OM // BD. Tứ giác MDOA là hình chữ nhật. Tứ giác MDBO là hình bình hành. MO là tia phân giác của \(\widehat{AMD}\). Hướng dẫn giải: Có \(\)\(\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\). \(\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\). Suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{AOM}\). Suy ra: OM // BC. \(\Delta MAO=\Delta DOB\left(c.g.c\right)\) nên OM = BD. Suy ra tứ giác OMDB là hình bình hành. Suy ra MD = OB = OD. Xét tứ giác MDOA có MD = OA và MA = DO nên là hình bình hành . Hơn nữa \(\widehat{OAM}=90^o\) nên tứ giác MDOA là hình chữ nhật.
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi H là hình chiếu của T lên OA. Các bước chứng minh tứ giác nội tiếp OHBC nội tiếp bị sắp xếp sai thứ tự như sau: (1) Xét \(\Delta OAC\) và \(\Delta BAH\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AO}{AC}\) nên \(\Delta OAC\sim\Delta BAH\left(c.g.c\right)\). Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{OCA}\). Suy ra tứ giác OHBC nội tiếp. (2) \(\Delta THA\sim\Delta OTA\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{TA}{OA}=\dfrac{HA}{TA}\) \(\Rightarrow TA^2=AH.AO\). (3) Vì \(TA^2=AH.AO=AB.AC\Rightarrow\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AO}{AC}\). (4) \(\Delta TAB\sim\Delta CAT\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AT}{CA}=\dfrac{AB}{AT}\)\(\Rightarrow TA^2=AB.AC\). Thứ tự đúng là: (được chọn hai đáp án trở nên ) (2) - (4) - (3) - (1) (4) - (2) - (4) - (1) (1) - (4) - (2) - (3) (2) - (3) - (1) - (4)
Cho đường tròn (O). Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I (điểm B nằm trên cung nhỏ AC). Chọn câu SAI: BC // AD. Tứ giác ABCD là hình thang cân. \(\widehat{IAD}=45^o\) \(\widehat{BDC}=\widehat{BDA}\) Hướng dẫn giải: Có \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\) Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{CDA}\). Suy ra: \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\). Mà \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=90^o\) nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=45^o\). Suy ra: \(sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{CD}=2.45^o=90^o\). Vì vậy: \(\widehat{CBD}=\widehat{IAD}=45^o\). Từ đó suy ra BC // AD và tứ giác ABCD là hình thang cân.
Cho nửa đường tròn đường kính BC = 10cm và dây BA = 8cm. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các nửa đường tròn đường kính AB và AC. Tính diện tích hai phần trăng khuyết. \(24cm^2\) \(48cm^2\) \(3\pi+24\left(cm^2\right)\) \(\pi+24\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý Pi-ta-go: \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\). Diện tích tam giác ABC là: \(\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.8.6=24\left(cm^2\right)\). Diện tích nửa đường tròn đường kính BC là: \(\dfrac{1}{2}.\left(10:2\right)^2.\pi=\dfrac{25\pi}{2}\left(cm^2\right)\) Diện tích nửa đường tròn đường kính AB là: \(\dfrac{1}{2}.\left(8:2\right)^2.\pi=8\pi\left(cm^2\right)\) Diện tích nửa đường tròn đường kính AC là: \(\dfrac{1}{2}.\left(6:2\right)^2.\pi=\dfrac{9\pi}{2}\left(cm^2\right)\) Diện tích hai hình viên phân (ứng với đường tròn đường kính BC) là: \(\dfrac{25\pi}{2}-24\left(cm^2\right)\) Diện tích hai hình trăng khuyết là: \(\left(8\pi+\dfrac{9\pi}{2}\right)-\left(16\pi-24\right)=24\left(cm^2\right)\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết BC = 2cm, \(\widehat{A}=45^o\). Chọn đáp án đúng : Diện tích hình tròn (O) bằng \(2\pi\left(cm^2\right)\) Diện tích của hình viên phân viên giới hạn của dây BC và cung nhỏ BC là \(S_{vp}=\dfrac{\pi-2}{2}\left(cm^2\right)\) Diện tích tam giác OBC là: \(1cm^2\) Tất cả các câu còn lại đều đúng. Hướng dẫn giải: Có \(\widehat{BAC}=45^o\Rightarrow\widehat{BOC}=90^o\). Ta có: \(OB^2+OC^2=BC^2\)\(\Leftrightarrow2r^2=2^2\)\(\Leftrightarrow r=\sqrt{2}\) (r là bán kính đường tròn (O)). Diện tích đường tròn (O) là: \(r^2\pi=\left(\sqrt{2}\right)^2\pi=2\pi\left(cm^2\right)\). Diện tích cung BC là: \(\dfrac{1}{4}.2\pi=\dfrac{\pi}{2}\left(cm^2\right)\) Diện tích tam giác OBC là: \(\dfrac{1}{2}OB.OC=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}=1\left(cm^2\right)\). Diện tích hình viên phân giới hạn của dây BC và cung nhỏ BC là: \(\dfrac{\pi}{2}-1\left(cm^2\right)\).
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN. Trong số các câu dưới đây, câu nào là sai? H là trực tâm tam giác ABC. \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\). Tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của AH. Tứ giác NAMH nội tiếp. \(MN\perp AH\) Hướng dẫn giải: \(\widehat{BMC}\) và \(\widehat{BNC}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\). Có \(CM\perp AB\) và \(BN\perp AC\) nên H là trực tâm tam giác ABC. Tứ giác AMHN có \(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\) nên là tứ giác nội tiếp. Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại N của đường tròn tâm O với AH là K. Ta chứng minh K trung điểm của AH. Có \(\widehat{ANK}=\widehat{xNC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NC}\). mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NBC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NC}\). Suy ra: \(\widehat{NAK}=\widehat{ANK}\). Vì vật tam giác NAK cân tại K hay KA = KN. (1) Có \(\widehat{NAK}+\widehat{AHN}=90^o\) và \(\widehat{ANK}+\widehat{KNH}=90^o\) suy ra: \(\widehat{HKN}=\widehat{KNH}\) . Vậy tam giác KNH cân. Vì vậy KN = KH. (2) Từ (1) và (2) suy ra: KA = KN = KH. Hay K là trung điểm của AH. Nếu MN vuông góc với AH thì MN // BC. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC cân tại A.
