Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x+2y\right)-3\left(x-y\right)=99\\x-3y=7x-4y-17\end{matrix}\right.\) bằng phương pháp cộng đại số. \(\left(x,y\right)=\left(4,7\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(-3,-7\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(-4,-7\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(-11,-12\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(x+2y\right)-3\left(x-y\right)=99\\x-3y=7x-4y-17\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+13y=99\\-6x+y=-17\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=7\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(3y+1\right)-4\left(x-1\right)=5\\5\left(3y+1\right)-8\left(x-1\right)=9\end{matrix}\right.\) bằng phương pháp cộng đại số. \(\left(-\dfrac{3}{4},-\dfrac{2}{3}\right)\) \(\left(-\dfrac{3}{4},\dfrac{2}{3}\right)\) \(\left(-1;-3\right)\) \(\left(-\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(3y+1\right)-4\left(x-1\right)=5\\5\left(3y+1\right)-8\left(x-1\right)=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+6y=-1\\-8x+15y=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{4}\\y=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(\left(x,y\right)=\left(36,12\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(-13,39\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(3,9\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(11,33\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) Đặt \(a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y}\) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}a+b=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4}a+\dfrac{3}{4}b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}a+b=\dfrac{1}{10}\\a+b=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{36}\\b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\). Trở lại phép đặt ẩn phụ ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=36\\y=12\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x+y-3}-\dfrac{2}{x-y+1}=8\\\dfrac{3}{x+y-3}+\dfrac{1}{x-y+1}=1,5\end{matrix}\right.\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{13}{4}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{5}{4},\dfrac{10}{4}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(-\dfrac{3}{4},\dfrac{10}{4}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x+y-3}-\dfrac{2}{x-y+1}=8\\\dfrac{3}{x+y-3}+\dfrac{1}{x-y+1}=1,5\end{matrix}\right.\) Đặt \(a=\dfrac{1}{x+y-3},b=\dfrac{1}{x-y+1}\) phương trình trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}5a-2b=8\\3a+b=1,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) Trờ lại với phép đặt ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=1\\x-y+1=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\x-y=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}\\y=\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\)
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 125. số lớn 1850, số nhỏ 575 số lớn 1550, số nhỏ 245 số lớn 1250, số nhỏ 285 số lớn 1235, số nhỏ 235 Hướng dẫn giải: Gọi số lớn là x, số bé là y (x, y \(\in\) N*, y < x , x > 1275) Do hiệu của hai số là 1275 nên ta có phương trình : x - y = 1275 Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 125 nên x = 3y + 125 Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1275\\x=3y+125\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1850\\y=575\end{matrix}\right.\left(tm\right)\) Vậy số lớn là 1850, số bé là 575.
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch. Xí nghiệp I: 200 sản phẩm, xí nghiệp II: 160 sản phẩm. Xí nghiệp I: 250 sản phẩm, xí nghiệp II: 200 sản phẩm. Xí nghiệp I: 300 sản phẩm, xí nghiệp II: 320 sản phẩm. Xí nghiệp I: 180 sản phẩm, xí nghiệp II: 120 sản phẩm. Hướng dẫn giải: Gọi số sản phẩm làm theo kế hoạch của xí nghiệp I là x (đơn vị sản phẩm) (x > 0). số sản phẩm làm theo kế hoạch của xí nghiệp II là y. (đơn vị sản phẩm) (y > 0). Ta có: \(x+y=360\). Xí nghiệp I làm vượt mức 12% sản phẩm nên số sản phẩm thực tế xí nghiệp I làm là: \(x+12\%x=1,12x\) Xí nghiệp I làm vượt mức 10% sản phẩm nên số sản phẩm thực tế xí nghiệp I làm là: \(y+10\%y=1,1y\) Ta có: \(1,12x+1,1y=400\). ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=360\\1,12x+1,1y=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=200\\y=160\end{matrix}\right.\left(tm\right)\) Vậy xí nghiệp I phải làm 200 sản phẩm, xí nghiệp II phải làm 160 sản phẩm.
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100\(m^2\). Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 68\(m^2\). Tính diện tích của thửa ruộng đó. \(308m^2\) \(616m^2\) \(400m^2\) \(600m^2\) Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài và chiều rộng thửa ruộng là x,y (m) (x > y > 2). Diện tích của thửa ruộng sau khi tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m là (x + 2)(y + 3) (m2) Diện tích của thửa ruộng sau khi cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m là (x - 2)(y - 2) (m2) Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+100\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-68\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=94\\-2x-2y=-72\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=14\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Diện tích của thửa ruộng trên là: \(22.14=308\left(m^2\right)\)
Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về bằng nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về bằng nhau ). Tìm vận tốc xuống dốc và lên dốc của người đạp xe. Vận tốc lên dốc là 12km/h, vận tốc xuống dốc là 15km/h. Vận tốc lên dốc là 15km/h, vận tốc xuống dốc là 12km/h. Vận tốc lên dốc là 20km/h, vận tốc xuống dốc là 24km/h Vận tốc lên dốc là 16km/h, vận tốc xuống dốc là 20km/h. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc lên dốc là x(km/h) và vận tốc xuống dốc là y(km/h) (ĐK: 0 < x < y) Đi từ A - B: lên dốc dài 4km và xuống dốc dài 5km. Ta có \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}\). Đi từ B - A: lên dốc dài 5km và xuống dốc dài 4km. Ta có \(\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{41}{60}\). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{41}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=15\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy vận tốc lên dốc là 12km/h, vận tốc xuống dốc là 15km/h.
Một cửa hàng có hai loại rượu vang. Khi pha hai loại rượu đó theo tỉ lệ 4 : 3 thì giá bán là 5250 đồng một lít. Khi pha theo tỉ lệ 4 : 5, giá bán 5300 đồng một lít. Tính giá mỗi lít rượu vang mỗi loại. Giá tiền loại rượu thứ nhất là 5081,25(đ) và giá loại rượu thứ hai là 5475(đ). Giá tiền loại rượu thứ nhất là 5100(đ) và giá loại rượu thứ hai là 5400(đ). Giá tiền loại rượu thứ nhất là 5200(đ) và giá loại rượu thứ hai là 5350(đ). Giá tiền loại rượu thứ nhất là 5250(đ) và giá loại rượu thứ hai là 5300(đ). Hướng dẫn giải: Gọi giá bán loại rượu vang thứ nhất là x(đồng) và giá bán loại rượu thứ hai là y(đồng). Nếu pha loại rượu đó theo tỉ lệ 4 : 3 thì trong 7l có 4 lít rượu loại 1 và 3 lít rượu loại 2. Vậy ta có phương trình: \(4x+3y=5250.7\) Nếu pha loại rượu đó theo tỉ lệ 4 : 5 thì trong 9l có 4 lít rượu loại 1 và 5 lít rượu loại 2. Vậy ta có phương trình: \(4x+5y=5300.9\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y=36750\\4x+5y=47700\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5081,25\\y=5475\end{matrix}\right.\) Vậy giá tiền loại rượu thứ nhất là 5081,25(đ) và giá loại rượu thứ hai là 5475(đ).
Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? Số học sinh là 36 , số ghế là 10 Số học sinh là 72, số ghế là 20 Số học sinh là 20, số ghế là 10 Số học sinh là 24, số ghế là 6 Hướng dẫn giải: Gọi số học sinh của lớp là x và số ghế là y \(\left(x,y\in N\right)\). Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3y+6\\x=4\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=36\\y=10\end{matrix}\right.\) Vậy số học sinh là 36 học sinh, số ghế là 10 ghế.
