Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm 14km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định. Vận tốc dự định là 28km/h và thời gian dự định là 6 giờ. Vận tốc dự định là 14km/h và thời gian dự định là 12 giờ. Vận tốc dự định là 32km/h và thời gian dự định là 10 giờ. Vận tốc dự định là 30km/h và thời gian dự định là 6 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là x (km/h), y(h) (ĐK: x, y > 0) Quãng đường AB là: x.y . Theo bài ra ta có phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+14\right)\left(y-2\right)=xy\\\left(x-4\right)\left(y+1\right)=xy\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+14y=28\\x-4y=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=28\\y=6\end{matrix}\right.\). Vậy vận tốc dự định là 28km/h và thời gian dự định là 6 giờ.
Hai vật chuyển động trên vòng tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. Vận tốc của vật thứ nhất là \(3\pi\) và vận tốc của vật thứ hai \(2\pi\). Vận tốc của vật thứ nhất là \(2\pi\) và vận tốc của vật thứ hai \(\pi\). Vận tốc của vật thứ nhất là \(3,5\pi\) và vận tốc của vật thứ hai \(2,5\pi\). Vận tốc của vật thứ nhất là \(4\pi\) và vận tốc của vật thứ hai \(2\pi\). Hướng dẫn giải: Chu vi của đường tròn: \(20\pi\). Gọi vận tốc của vật thứ nhất là x(m/s) và vận tốc của vật thứ hai là y(m/s). (x, y > 0) Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau Ta có phương trình: \(20x-20y=20\pi\) Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau . Ta có phương trình: \(4x+4y=20\pi\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}20x-20y=20\pi\\4x+4y=20\pi\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\pi\\y=2\pi\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) . Vậy vận tốc của vật thứ nhất là \(3\pi\) (m/s) và vận tốc của vật thứ hai \(2\pi\) (m/s).
Hai bạn Hà và Tuấn đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 150km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi bạn biết rằng nếu tăng vận tốc của Hà thêm 5km/h và Tuấn giảm vận tốc 5km/h thì vận tốc của Hà gấp đôi vận tốc của Tuấn. Vận tốc của Hà là 45km/h và vận tốc của Tuấn là 30km/h. Vận tốc của Hà là 50km/h và vận tốc của Tuấn là 35km/h. Vận tốc của Hà là 60km/h và vận tốc của Tuấn là 45km/h. Vận tốc của Hà là 50km/h và vận tốc của Tuấn là 30km/h. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc của Hà là x(km/h) và vận tốc của Tuấn là y(km/h) (x, y > 0). Hai bạn Hà và Tuấn đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 150km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình: \(2x+2y=150\) Vận tốc của Hà tăng thêm 5 km là x + 5, vận tốc của Tuấn giảm đi 5 km là y - 5: Ta có phương trình: \(x+5=2\left(y-5\right)\) Ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=150\\x+5=2\left(y-5\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=150\\x-2y=-15\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=45\\y=30\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy vận tốc của Hà là 45km/h và vận tốc của Tuấn là 30km/h.
Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 5 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được \(\dfrac{8}{15}\) bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu thì đầy bể? Thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 15 giờ, vòi 1 là 10 giờ. Thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 12 giờ, vòi 1 là 15 giờ. Thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 20 giờ, vòi 1 là 15 giờ. Thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 12 giờ, vòi 1 là 10 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi thời gian vòi 1 chảy đầy bể là x(giờ) và thời gian vòi 1 chảy đầy bể là y(giờ). (x, y > 0) Mỗi giờ vòi 1 chảy \(\dfrac{1}{x}\) (bể), mỗi giờ vòi 2 chảy \(\dfrac{1}{y}\) (bể). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{8}{15}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=10\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 15 giờ, vòi 1 là 10 giờ.
Hai tổ công nhân làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành xong một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 6 giờ. Hỏi nếu tổ thứ hai làm một mình thì bao lây sẽ hoàn thành công việc? Thời gian tổ 1 làm xong công việc là 9 giờ, thời gian tổ 2 làm xong công việc là 18 giờ. Thời gian tổ 1 làm xong công việc là 12 giờ, thời gian tổ 2 làm xong công việc là 15 giờ. Thời gian tổ 1 làm xong công việc là 6 giờ, thời gian tổ 2 làm xong công việc là 12 giờ. Thời gian tổ 1 làm xong công việc là 10 giờ, thời gian tổ 2 làm xong công việc là 18 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi thời gian để tổ thứ nhất một mình làm xong công việc là x(giờ) và thời gian để tổ thứ hai làm xong công việc là y(giờ) (x, y > 0). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{6}{y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{9}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=18\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy thời gian tổ 1 làm xong công việc là 9 giờ, thời gian tổ 2 làm xong công việc là 18 giờ.
Hai tổ công nhân làm chung 12 giờ sẽ hoàn thành công việc đã định. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 40% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu? Thời gian người thứ nhất làm xong mất 30 giờ và thời gian người thứ hai làm mất 20 giờ. Thời gian người thứ nhất làm xong mất 20 giờ và thời gian người thứ hai làm mất 40 giờ. Thời gian người thứ nhất làm xong mất 15 giờ và thời gian người thứ hai làm mất 20 giờ. Thời gian người thứ nhất làm xong mất 45 giờ và thời gian người thứ hai làm mất 30 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi thời gian người thứ nhất làm xong việc là x(giờ) và thời gian người thứ hai làm xong công việc là y(giờ) (ĐK: x, y > 0). Ta có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{40}{100}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{30}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=20\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy thời gian người thứ nhất làm xong mất 30 giờ và thời gian người thứ hai làm mất 20 giờ.
Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước (không có nước ) sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 4 giờ và vòi thứ hai trong 3 giờ thì được \(\dfrac{3}{4}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy vào bể là bao nhiêu? Đáp án đúng là: Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 8 giờ, thời gan vòi thứ hai chảy đầy bể 12 giờ. Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 10 giờ, thời gan vòi thứ hai chảy đầy bể 15 giờ. Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 12 giờ, thời gan vòi thứ hai chảy đầy bể 15 giờ. Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 6 giờ, thời gan vòi thứ hai chảy đầy bể 6 giờ. Hướng dẫn giải: Đổi 4 giờ 48 phút = \(4+\dfrac{48}{60}=\dfrac{24}{5}\left(h\right)\). Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) (x, y > 0). \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1:\dfrac{24}{5}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=12\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 8 giờ, thời gan vòi thứ hai chảy đầy bể 12 giờ.
Một tam giác có cạnh đáy bằng \(\dfrac{2}{5}\) chiều cao. Nếu giảm chiều cao đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó tăng \(14dm^2\). Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Cạnh đáy của tam giác là 4dm và chiều cao của tam giác là 10dm. Cạnh đáy của tam giác là 10dm và chiều cao của tam giác là 4dm. Cạnh đáy của tam giác là \(\dfrac{28}{11}\)dm và chiều cao của tam giác là \(\dfrac{70}{11}\)dm. Cạnh đáy của tam giác là 15dm và chiều cao của tam giác là 10dm. Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của tam giác là x(dm) và chiều cao của tam giác của y(dm) (x, y > 0). Ta có phương trình \(x=\dfrac{2}{5}y\). Giảm chiều cao đi 2 dm thì chiều cao mới là \(y-2\left(dm\right)\), cạnh đáy tăng thêm 3dm thì cạnh đáy mới là \(x+3\left(dm\right)\). Ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y-2\right)=\dfrac{1}{2}xy+14\)\(\Leftrightarrow-2x+3y=22\). Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{5}y\\-2x+3y=22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=10\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy cạnh đáy của tam giác là 4dm và chiều cao của tam giác là 10dm.
Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63km. Một lần khác ca nô cũng chạy trong 7 giờ xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km. Tính vận tốc của dòng nước và vận tốc của ca nô (vận tốc thật của ca-nô không đổi). Vận tốc của ca-nô là 24km/h và vận tốc của dòng nước là 3km/h. Vận tốc của ca-nô là 12km/h và vận tốc của dòng nước là 6km/h. Vận tốc của ca-nô là 36km/h và vận tốc của dòng nước là 6km/h. Vận tốc của ca-nô là 24km/h và vận tốc của dòng nước là 8km/h. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc của ca-nô là x(km/h) và vận tốc của dòng nước là y(km/h) (x > y > 0). Vận tốc của ca-nô lúc xuôi dòng là \(x+y\) (km/h). Vận tốc của ca-nô lúc ngược dòng là \(x-y\) (km/h). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{108}{x+y}+\dfrac{63}{x-y}=7\\\dfrac{81}{x+y}+\dfrac{84}{x-y}=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{27}\\\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=27\\x-y=21\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=3\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy vận tốc của ca-nô là 24km/h và vận tốc của dòng nước là 3km/h.
Hai ca-nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca-nô, biết rằng vận tốc của ca-nô đi xuôi lớn hơn vận tốc của ca-nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h (vận tốc thật của ca-nô không đổi). Vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là 30km/h và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là 21km/h. Vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là 36km/h và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là 27km/h Vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là 45km/h và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là 36km/h Vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là 35km/h và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là 26km/h Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc thật của ca-nô đi xuôi dòng là x (km/h) và vận tốc thật của ca-nô đi ngược dòng là y (km/h) (x , y > 0). Ta có phương trình \(x-y=9\). Vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là \(x+3\) (km/h) và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là \(y-3\) (km/h). 1 giờ 40 phút = \(\dfrac{5}{3}\left(h\right)\). Ta có phương trình \(\dfrac{5}{3}\left(x+3\right)+\dfrac{5}{3}\left(y-3\right)=85\)\(\Leftrightarrow x+y=51\). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=9\\x+y=51\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=21\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy vận tốc của ca-nô đi xuôi dòng là 30km/h và vận tốc của ca-nô đi ngược dòng là 21km/h.
