Đoạn đường AB dài 200km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A và một ô-tô đi từ B, xe máy và ô-tô gặp nhau ở một địa điểm C cách A 120km. Nếu xe máy khởi hành sau ô-tô một giờ thì gặp nhau tại D cách C 24km. Tính vận tốc của ô-tô và xe máy. Vận tốc xe máy 40km/h và vận tốc ô-tô là 60km/h. Vận tốc xe máy 50km/h và vận tốc ô-tô là 60km/h. Vận tốc xe máy 60km/h và vận tốc ô-tô là 80km/h. Vận tốc xe máy 35km/h và vận tốc ô-tô là 60km/h. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) và vận tốc của ô-tô là y (km/h) (ĐK: 0 < x < y). Lần thứ nhất ô-tô đi 120km, xe máy đi 200 - 120 = 80km. Ta có phương trình: \(\dfrac{120}{y}=\dfrac{80}{x}\). Lần thứ hai xe máy xuất phát chậm hơn nên ta có hình vẽ: Độ dài AD là: 80 - 24 = 56(km), độ dài BD là: 200 - 56 = 144(km). Ta có phương trình : \(\dfrac{56}{x}+1=\dfrac{144}{y}\). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{120}{x}=\dfrac{80}{y}\\\dfrac{56}{x}+1=\dfrac{144}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{40}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=40\\y=60\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy vận tốc xe máy 40km/h và vận tốc ô-tô là 60km/h.
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(x=36,y=12\) \(x=\dfrac{1}{36},y=1=\dfrac{1}{12}\) \(x=2,y=5\) \(x=\dfrac{1}{24},y=\dfrac{1}{8}\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(\left(ĐK:x,y\ne0\right)\) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ne0\right)\) Phương trình đã cho trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}a+b=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{4}a+\dfrac{3}{4}b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{9}{20}a+\dfrac{3}{4}b=\dfrac{3}{40}\\\dfrac{3}{4}a+\dfrac{3}{4}b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}a+b=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{3}{10}a=\dfrac{1}{120}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{36}\\b=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\) Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=36\\y=12\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(36;12\right)\)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{3}\\\sqrt{2}x+y=1+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{5}+3,\dfrac{1}{5}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{5}+3,-\dfrac{1}{5}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{5}+3,\dfrac{1+\sqrt{6}}{5}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{5},\dfrac{1+\sqrt{6}}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{3}\\\sqrt{2}x+y=1+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{3}\\\sqrt{2}\left(2\sqrt{2}y+\sqrt{3}\right)+y=1+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\sqrt{2}y+\sqrt{3}\\4y+\sqrt{6}+y=1+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\sqrt{2}y+3\\y=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}+3\\y=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\).
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+3\right)=3\left(y+1\right)+1\\3\left(x-y+1\right)=2\left(x-2\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\left(x,y\right)=\left(0,\dfrac{2}{3}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(2,2\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(0,2\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(2,\dfrac{2}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+3\right)=3\left(y+1\right)+1\\3\left(x-y+1\right)=2\left(x-2\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=-2\\x-3y=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\). Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;2).
Một đội thủy lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn đê trong một thời gian quy định. Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải kéo dài thêm 6 ngày, có nếu có thêm hai người thì đội hoàn thành trước thời gian quy định 2 ngày. Hỏi đội có bao nhiêu người và kế hoạch dự định là bao nhiêu ngày, nếu năng suất của mỗi người là như nhau? Số người của đội là 4 và số ngày hoàn thành theo dự định là 6 ngày. Số người của đội là 6 và số ngày hoàn thành theo dự định là 4 ngày. Số người của đội là 8 và số ngày hoàn thành theo dự định là 10 ngày. Số người của đội là 10 và số ngày hoàn thành theo dự định là 12 ngày. Hướng dẫn giải: Gọi số người của đội là x (người) và số ngày dự định làm xong công việc là y (ngày) (x , y \(\in\) N*). Do số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=\left(x-3\right)\left(y+6\right)\\xy=\left(x+2\right)\left(y-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-3y=18\\-2x+2y=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=10\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy số người của đội là 8 người và số ngày hoàn thành theo dự định là 10 ngày.
Dung dịch thứ nhất chứa 30% axit nitơric, dung dịch thứ hai chứa 55% axit nitơric. Hỏi phải trộn bao nhiêu lít dung dịch thứ nhất với dung dịch thứ hai để được 100 lít dung dịch chứa 50% axit nitơric ? Số lít dung dịch thứ nhất là 20(lít) số lít dung dịch thứ hai là 80(lít). Số lít dung dịch thứ nhất là 40(lít) số lít dung dịch thứ hai là 60(lít). Số lít dung dịch thứ nhất là 45(lít) số lít dung dịch thứ hai là 55(lít). Số lít dung dịch thứ nhất là 30(lít) số lít dung dịch thứ hai là 70(lít). Hướng dẫn giải: Gọi số lít dung dịch thứ nhất cần phải trộn là x(lít) thì số lít dung dịch thứ hai là y (lít) (x , y > 0). Ta có: \(x+y=100\). Do dung dịch được trộn chứa 55% axit nitơric nên: \(30\%x+55\%y=50\%.100\Leftrightarrow0,3x+0,55y=50\). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=100\\0,3x+0,55y=50\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=80\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy số lít dung dịch thứ nhất là 20(lít) số lít dung dịch thứ hai là 80(lít).
Hai tổ công nhận cùng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 6 giờ. Nhưng khi làm chung được 5 giờ thì tổ II được điều động đi làm việc khác. Do cải tiến cách làm, năng suất của tổ I tăng lên 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành phần việc còn lại trong 2 giờ. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi tổ làm một mình thì sau bao nhiêu giờ mới xong được công việc? Số giờ tổ I cần để làm xong công việc 8 (giờ) , số giờ tổ II cần làm để xong việc là 24 giờ. Số giờ tổ I cần để làm xong công việc 6 (giờ) , số giờ tổ II cần làm để xong việc là 20 giờ. Số giờ tổ I cần để làm xong công việc 4 (giờ) , số giờ tổ II cần làm để xong việc là 8 giờ. Số giờ tổ I cần để làm xong công việc 12 (giờ) , số giờ tổ II cần làm để xong việc là 24 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi thời gian nếu làm một mình tổ I làm xong việc là x(giờ), tổ II làm xong việc là y(giờ) (x, y > 0). Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\). Trong 5 giờ hai tổ làm được \(5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\). Nếu cải tiến năng suất lên 1,5 lần thì mỗi giờ tổ I làm được: \(\dfrac{1}{1,5x}\). Ta có phương trình \(5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{2}{1,5y}=1\). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{2}{1,5y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{19}{3x}+\dfrac{5}{y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\). Vậy số giờ tổ I cần để làm xong công việc 8 (giờ) , số giờ tổ II cần làm để xong việc là 24 giờ.
Một tam giác có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao lên 3dm, giảm đáy đi 2m thì diện tích của nó tăng thêm \(12dm^2\). Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Cạnh đáy của tam giác là 12dm và chiều cao của tam giác là 9dm. Cạnh đáy của tam giác là 10dm và chiều cao của tam giác là 4dm. Cạnh đáy của tam giác là 16dm và chiều cao của tam giác là 12dm. Cạnh đáy của tam giác là 20dm và chiều cao của tam giác là 15dm. Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của tam giác là x(dm) và chiều cao của tam giác là y(dm) (x ,y > 0). Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{4}x\\\left(y+3\right)\left(x-2\right)=xy+12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y-3x=0\\3x-2y=18\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=9\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy cạnh đáy của tam giác là 12dm và chiều cao của tam giác là 9dm.
