Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15cm, người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi\left(cm^3\right)\). Tính diện tích toàn phần hình nón. \(184\pi\left(cm^2\right)\) \(120\pi\left(cm^2\right)\) \(150\pi\left(cm^2\right)\) \(100\pi\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: Phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích hình trụ, hình nón tạo thành chiếm \(\dfrac{1}{3}\) thể tích hình trụ. Thể tích hình nón là: \(640\pi:2=320\pi\left(cm^3\right)\). Ta có: \(\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi.r^2.15=320\pi\Leftrightarrow r=8\left(cm\right)\). Diện tích toàn phần hình nón là: \(\pi rl+\pi r^2=\pi\left(8.15+8^2\right)=184\pi\left(cm^2\right)\).
Một hình nón có đường sinh dài 15cm và diện tích xung quanh là \(135\pi cm^2\). Tìm chiều cao của hình nón đó. 12cm 15cm 8cm 20cm
Chiều cao là h(cm), bán kính đường tròn đáy là r(cm) và độ dài đường sinh m(cm) thì thể tích hình nón được tính theo công thức nào dưới đây? \(\pi r^2h\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{1}{3}\pi r^2h\left(cm^3\right)\) \(\pi rm\left(cm^3\right)\) \(\pi r\left(r+m\right)\left(cm^3\right)\)
Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng \(cm^2\)) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng \(cm^3\)) . Tính bán kính của hình cầu đó. R = 3cm. R = 6cm. R = 5cm. R = 2,5cm. Hướng dẫn giải: Diện tích mặt cầu tính bằng công thức: \(4\pi R^2\). Thể tích mặt cầu được tính bằng công thức: \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\). Ta có: \(\dfrac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^2\Leftrightarrow\dfrac{R}{3}=1\)\(\Leftrightarrow R=3\left(cm\right)\).
Một hình cầu có diện tích bề mặt là \(100\pi m^2\). Tính thể tích hình cầu đó. Kết quả đúng là: \(\dfrac{500}{3}\pi\left(m^3\right)\) \(500\pi\left(m^3\right)\) \(200\pi\left(m^2\right)\) \(\dfrac{125}{3}\pi\left(m^3\right)\) Hướng dẫn giải: Diện tích bề mặt của hình cầu là: \(4\pi r^2=100\pi\Leftrightarrow r=5\left(cm\right)\). Thể tích hình cầu đó là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi.5^3=\dfrac{500}{3}\pi\left(m^3\right)\)
Nếu bán kính hình cầu tăng lên \(\dfrac{3}{2}\) lần thì trong các tỉ số nào dưới đây, tỉ số nào là tỉ số giữa thể tích của hình nón mới với thể tích hình nón ban đầu? \(\dfrac{27}{8}\) \(\dfrac{9}{4}\) \(\dfrac{3}{2}\) \(\dfrac{1}{8}\)
Hình sau đây minh họa: hình gồm một hình cầu và một hình nón. Thể tích của hình nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây: \(\dfrac{2}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\) \(\pi x^3\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{4}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{1}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Thể tích hình nón là: \(\dfrac{1}{3}\pi.x^2.x=\dfrac{1}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\). Thể tích một nửa hình cầu là: \(\left(\dfrac{4}{3}\pi x^3\right):2=\dfrac{2}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\). Vậy thể tích của hình là: \(\dfrac{1}{3}\pi x^3+\dfrac{2}{3}\pi x^3=\pi x^3\left(cm^3\right)\)
Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ như hình bên dưới (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng \(\dfrac{2}{3}\) thể tích hình trụ. Nếu đường kính của hình cầu là d(cm) thì thể tích của hình trụ được tính theo công thức nào dưới đây? \(\dfrac{1}{4}\pi d^3\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{3}{2}\pi d^3\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{2}{3}\pi d^3\left(cm^3\right)\) \(\dfrac{3}{4}\pi d^3\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải: Thể tích hình cầu có đường kính d(cm) là: \(\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3=\dfrac{1}{6}\pi d^3\left(cm^3\right)\). Thể tích của hình trụ là: \(\dfrac{1}{6}\pi d^3.\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{4}\pi d^3\left(cm^3\right)\)
Tam giác đều ABC có độ dài cạnh là a, ngoại tiếp một đường tròn. Cho hình quay một vòng quay quanh đường cao AH của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp một hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu. \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}a^3}{216}\) \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}a^3}{24}\) \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}a^3}{320}\) \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}a^3}{432}\) Hướng dẫn giải: Độ dài AH là \(a.sin60^o=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\); Bán kính hình cầu là: \(\dfrac{AH}{3}=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}\). Thể tích hình cầu là: \(\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a\right)^3=\dfrac{\pi\sqrt{3}a^3}{56}\). Thể tích hình nón là: \(\dfrac{1}{3}\pi BH^2.AH=\dfrac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}\). Thể tích phần cần tính bằng: \(\dfrac{\pi\sqrt{3}a^3}{56}-\dfrac{\pi\sqrt{3}a^3}{24}=\dfrac{5\pi\sqrt{3}a^3}{216}\).
Một hình cầu nội tiếp trong một hình trụ. Cho biết diện tích mặt cầu là \(60\pi cm^2\). Hãy tính diện tích toàn phần của hình trụ. \(S_{tp}=90\pi\left(cm^2\right)\) \(S_{tp}=45\pi\left(cm^2\right)\) \(S_{tp}=135\pi\left(cm^2\right)\) \(S_{tp}=50\pi\left(cm^2\right)\) Hướng dẫn giải: \(4\pi R^2=60\pi\Leftrightarrow r=\sqrt{15}\left(cm\right)\) Diện tích toàn phần của hình trụ là: \(2\pi rh+2\pi r^2=2\pi\sqrt{15}.2\sqrt{15}+2\pi\left(\sqrt{15}\right)^2=90\pi\left(cm^2\right)\)
