Cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\) và điểm \(A\left(2;1\right)\). Hai tiếp tuyến vẽ từ A đến (C) tiếp xúc với (C) tại \(T_1;T_2\). Viết phương trình đường thẳng \(T_1T_2\). \(x-4y-2=0\) \(x-4y+2=0\) \(x+4y+2=0\) \(x+4y-2=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình tiếp tuyến tổng quát của đường tròn (C) là (d): \(\left(x_0-1\right)\left(x-1\right)+\left(y_0+3\right)\left(y+3\right)=9\) ( \(\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm ). Tiếp tuyến này sẽ đi qua \(A\left(2;1\right)\) khi và chỉ khi \(\left(x_0-1\right)\left(2-1\right)+\left(y_0+3\right)\left(1+3\right)=9\) \(\Leftrightarrow x_0+4y_0+2=0\). Như vậy tọa độ tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ qua A thỏa mãn phương trình \(x+4y+2=0\) và đây chính là phương trình đường thẳng \(T_1T_2\). Đáp số: \(x+4y+2=0\)
Cho đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2-6x-4y+8=0\) và điểm A(0;6). Các tiếp tuyến vẽ từ A đến (C) tiếp xúc với (C) tại \(T_1;T_2\). Viết phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) . \(3x-4y-4=0\) \(3x-4y+4=0\) \(3x+4y-4=0\) \(3x+4y+4=0\) Hướng dẫn giải: Xét điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) thuộc đường tròn (C). Tiếp tuyến với đường tròn tại M có phương trình \(x_0x+y_0y-3\left(x_0+x\right)-2\left(y_0+y\right)+8=0\). Tiếp tuyến này sẽ qua A(0;6) khi và chỉ khi \(x_0.0+y_0.6-3\left(x_0+0\right)-2\left(y_0+6\right)+8=0\) hay \(-3x_0+4y_0-4=0\Leftrightarrow3x_0-4y_0+4=0\). Như vậy các tiếp điểm \(T_1,T_2\) có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\) thỏa mãn phương trình \(3x-4y+4=0\), vậy phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \(3x-4y+4=0\). Đáp số: \(3x-4y+4=0\)
Cho một đường tròn cố định \(\left(C\right):x^2+y^2=1\) và một đường tròn thay đổi \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+4my-5=0\). Chứng minh rằng trục đẳng phương của \(\left(C\right)\) và \(\left(C_m\right)\) luôn đi qua một điểm cố định. tìm tọa độ điểm cố định đó. (-2; 1) (2; -1) (2; 1) (-2; -1) Hướng dẫn giải: Nhắc lại rằng trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng đi qua hai giao điểm (nếu có) của hai đường tròn. Các giao điểm của hai đường tròn có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x^2+y^2-2\left(m+1\right)y+4my-5=0\end{matrix}\right.\). Trừ hai phương trình theo vế ta được \(\left(m+1\right)x-2my+2=0\). Trục đẳng phương có phương trình \(\left(m+1\right)x-2my+2=0\Leftrightarrow m\left(x-2y\right)+x+2=0\). Ta thấy điểm (-2; -1) có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình với mọi m Vậy trục đẳng phương luôn đi qua điểm cố định (-2;-1)
Hai đường tròn \(\left(C_1\right):x^2+y^2-4x+2y-4=0\), \(\left(C_2\right):x^2+y^2-10x-6y+30=0\) có bao nhiêu tiếp tuyến chung? 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: \(\left(C_1\right):x^2+y^2-4x+2y-4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\) có tâm và bán kính \(I_1\left(2;-1\right)\)\(,R_1=3\). \(\left(C_2\right):x^2+y^2-10x-6y+30=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+\left(y-3\right)^2=4\) có tâm và bán kính \(I_2\left(5;3\right),R_2=2\). Khoảng cách hai tâm là \(I_1I_2=5=R_1+R_2\), hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau. Chúng có 3 tiếp tuyến. Đáp số : 3.
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2-6x+4y-23=0\) \(I\left(-3;2\right);R=6\) \(I\left(3;2\right);R=5\) \(I\left(3;-2\right);R=6\) \(I\left(-3;-2\right);R=5\) Hướng dẫn giải: \(\left(C\right):x^2+y^2-6x+4y-23=0\) \(\Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2+4y+4=23+9+4\) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=36\) \(I\left(3;-2\right);R=6\) Đáp số: \(I\left(3;-2\right);R=6\)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left(C\right):3x^2+3y^2+6x-4y-1=0\) \(I\left(1;-\frac{2}{3}\right);R=\frac{4}{3}\) \(I\left(-1;\frac{2}{3}\right);R=\frac{4}{3}\) \(I\left(1;-\frac{3}{2}\right);R=\frac{3}{4}\) \(I\left(1;\frac{3}{2}\right);R=\frac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\left(C\right):3x^2+3y^2+6x-4y-1=0\Leftrightarrow x^2+y^2+2x-\dfrac{4}{3}y-\dfrac{1}{3}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2=\)\(\dfrac{16}{9}\). Đáp số: \(I\left(-1;\frac{2}{3}\right);R=\frac{4}{3}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Đường tròn \(2x^2+2y^2-8x+4y-\frac{5}{2}=0\) có tâm \(I\left(2;-1\right);R=\frac{5}{2}\) Đường tròn \(x^2+y^{^{ }2}-x+3y+\frac{1}{2}=0\) có tâm \(I\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right);R=\sqrt{2}\) Đường tròn \(4x^2+4y^2-16x+12y+32=0\) có tâm \(I\left(2;-\frac{3}{2}\right);R=2\sqrt{2}\) \(x^2+y^2-2x+4y+6=0\) không phải là phương trình đường tròn Hướng dẫn giải: Viết lại các phương trình đã cho: * \(2x^2+2y^2-8x+4y-\dfrac{5}{2}=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left(2;-1\right)\), bán kính \(R=\dfrac{5}{2}\). * \(x^2+y^{^{ }2}-x+3y+\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\) , bán kính \(R=\sqrt{2}\). * \(4x^2+4y^2-16x+12y+32=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=-\dfrac{7}{4}\) không phải là phương trình đường tròn. * \(x^2+y^2-2x+4y+6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=-1\) không phải là phương trình đường tròn. Vậy khẳng định " Đường tròn \(4x^2+4y^2-16x+12y+32=0\) có tâm \(I\left(2;-\frac{3}{2}\right);R=2\sqrt{2}\) " là khẳng định sai.
Cho đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2+6x-4y-12=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Điểm A (-2;3) ở bên trong (C) Điểm B (3;-2) ở bên ngoài (C) Điểm C (1;5) ở trên đường tròn (C) Điểm I(3;-2) là tâm đường tròn. Hướng dẫn giải: Để xét vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn ta phải tìm tâm I, bán kính R của đường tròn và so sánh khoảng cách từ tâm I tới điểm đã cho với bán kính R. Viết lại phương trình đường tròn: \(\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=5^2\). Như vậy đường tròn có tâm \(I\left(-3;2\right)\), bán kính \(R=5\). Từ đó khẳng định " I(3;-2) là tâm đường tròn" là khẳng định sai.
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(1;3); B(1;-1); C(2;0) . \(x^2+y^2-2y-4=0\) \(x^2+y^2-2y+4=0\) \(x^2+y^2+2y-4=0\) \(x^2+y^2+2y+4=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn cần tìm có dạng \(x^2+y^2-2ax-2bx+c=0\). Đường tròn qua 3 điểm A, B, C nên \(\left\{{}\begin{matrix}1^2+3^2-2a.1-2b.3+c=0\\1^2+\left(-1\right)^2-2a.1-2b.\left(-1\right)+c=0\\2^2+0^2-2a.2-2b.0+c=0\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn này, chẳng hạn bằng MTCT ta được \(\left(a=0;b=1;c=4\right)\). Phương trình của (C) là \(x^2+y^2-2y+4=0\) Đáp số: \(x^2+y^2-2y+4=0\).
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): \(3x-4y+2=0\) tại điểm \(N\left(-2;-1\right)\). \(\left(x+11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\) \(\left(x+11\right)^2+\left(y+11\right)^2=15^2\) \(\left(x-11\right)^2+\left(y+11\right)^2=15^2\) \(\left(x-11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\) Hướng dẫn giải: (d) có vecto pháp tuyến với tọa độ (3;-4). Đường thẳng (d') vuông góc với (d) tại N(-2; -1) có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-1-4t\end{matrix}\right.\). Tâm I của (C) phải nằm trên (d'), do đó \(I\left(-2+3t;-1-4t\right)\). Vì (C) qua M và N nên phải có IM = IN hay \(\left(-3+3t\right)^2+\left(-3-4t\right)^2=\left(3t\right)^2+\left(-4t\right)^2\)\(\Leftrightarrow6t+18=0\Leftrightarrow t=-3\), từ đó \(I\left(-11;11\right)\). Bán kính đường tròn là \(R=\sqrt{\left(-9\right)^2+\left(12\right)^2}=15\). Vậy (C) có phương trình \(\left(x+11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\) Đáp số: \(\left(x+11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\). Cách khác: Kiểm tra xem tọa độ của điểm N có thỏa mãn các phương trình đã cho hay không (chẳng hạn dùng MTCT) ta thấy N chỉ thuộc đường tròn \(\left(x+11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\), từ đó suy ra ba đáp số \(\left(x+11\right)^2+\left(y+11\right)^2=15^2\), \(\left(x-11\right)^2+\left(y+11\right)^2=15^2\), \(\left(x-11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\) đều sai. Do đó: Đáp số: \(\left(x+11\right)^2+\left(y-11\right)^2=15^2\)
