Tìm bán kính của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(4;3); B(-2;1) và có tâm thuộc đường thẳng (d) : \(x+2y+5=0\) . \(2\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2}\) \(4\sqrt{2}\) \(5\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi I là tâm của đường tròn (C) đã cho. Vì I thuộc (d): \(x+2y+5=0\) nên I có tọa độ dạng I(-2t-5;t). Vì (C) qua A và B nên IA = IB do đó \(\left(-2t-5-4\right)^2+\left(t-3\right)^2=\left(-2t-5+2\right)^2+\left(t-1\right)^2\) hay \(36t+81-6t+9=12t+9-2t+1\Leftrightarrow20t=-80\Leftrightarrow t=-4\). Bán kính của (C) là \(IA=\sqrt{\left(8-9\right)^2+\left(-4-3\right)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) Cách 2: Tâm I của (C) là giao điểm của đường trung trực (d') của đoạn AB với đường thẳng (d) đã cho. Theo giả thiết A(4;3); B(-2;1) suy ra trung điểm AB là M(1;2) và \(\overrightarrow{AB}\left(-6;-2\right)=-2.\left(3;1\right)\), đường trung trực (d') của AB qua M(1;2) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-1;3\right)\) nên (d') có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=2+3t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình của (d) ta được: \(\left(1-t\right)+2\left(2+3t\right)+5=0\) \(\Leftrightarrow5t+10=0\Leftrightarrow t=-2\). Thế trở lại phương trình của (d') ta được \(I\left(3;-4\right)\) là tâm của (C); bán kính của (C) là \(IA=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}\) Đáp số: \(5\sqrt{2}\).
Xác định tâm của đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng \(2x+y=0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\left(d_1\right):4x-3y+10=0\) , \(\left(d_2\right):4x-3y-30=0\) I(-2;1) I(1;-2) I(2;1) I(-1;2) Hướng dẫn giải: Dễ thấy \(\left(d_1\right)\) // \(\left(d_2\right)\). Gọi I (a,b) là tâm của (C) thì \(2a+b=0\) (do giả thiết \(I\in\) đường thẳng \(2x+y=0\)) . Vì (C) tiếp xúc với hai đường thẳng đã cho nên I cách đều hai đường thẳng, do đó \(\dfrac{\left|4a-3b+10\right|}{5}=\dfrac{\left|4a-3b-30\right|}{5}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{4a-3b+10}{5}=-\dfrac{4a-3b-30}{5}\)\(\Leftrightarrow4a-3b=10\). Vì vậy tọa độ I thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\4a-3b=10\end{matrix}\right.\). Giải hệ này ta được \(\left(a=1;b=-2\right)\), nên \(I\left(1;-2\right)\). Đáp số: \(I\left(1;-2\right)\)
Tìm bán kính của đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng (d): \(4x+3y-2=0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\left(\Delta_1\right):x+y+4=0\) và \(\left(\Delta_2\right):7x-y+4=0\). \(\sqrt{2}\) hoặc \(\sqrt{3}\) \(\sqrt{5}\) hoặc \(\sqrt{6}\) \(\sqrt{8}\) hoặc \(\sqrt{18}\) \(\sqrt{10}\) hoặc \(\sqrt{20}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của (d) dưới dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=2-4t\end{matrix}\right.\). Tâm I của đường tròn đã cho thuộc (d) nên I có tọa độ \(I\left(-1+3t;2-4t\right)\). Đường tròn tiếp xúc với \(\Delta_1,\Delta_2\) nên I cách đều hai đường thẳng này một khoảng bằng bán kính, vì vậy \(R=\dfrac{\left|\left(-1+3t\right)+\left(2-4t\right)+4\right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|7\left(-1+3t\right)-\left(2-4t\right)+4\right|}{\sqrt{50}}\)\(\Leftrightarrow\)\(5\left(-t+5\right)=\pm\left(25t-5\right)\) \(\Leftrightarrow-t+5=\pm\left(5t-1\right)\Leftrightarrow t=1;t=-1\). Với \(t=1\) thì \(R=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\sqrt{8}\); Với \(t=-1\) thì \(R=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=\sqrt{18}\). Đáp số: \(R=\sqrt{8};R=\sqrt{18}\)
Trong họ đường tròn \(\left(C_m\right):x^2+y^2-4mx+2\left(m-1\right)y+6m-3=0\), đường tròn nào có bán kính nhỏ nhất? \(x^2+y^2+\dfrac{16}{5}x-\dfrac{2}{5}y-\dfrac{9}{5}=0\) \(x^2+y^2-\dfrac{16}{5}x-\dfrac{2}{5}y+\dfrac{9}{5}=0\) \(x^2+y^2+\dfrac{16}{5}x+\dfrac{2}{5}y+\dfrac{9}{5}=0\) \(x^2+y^2-\dfrac{16}{5}x+\dfrac{2}{5}y+\dfrac{9}{5}=0\) Hướng dẫn giải: \(x^2+y^2-4mx+2\left(m-1\right)y+6m-3=0\Leftrightarrow\left(x-2m\right)^2+\left(y-m-1\right)^2=5m^2-8m+4\). Bán kính đường tròn là \(R=\sqrt{5m^2-8m+4}=\sqrt{5\left(m-\dfrac{4}{5}\right)^2+\dfrac{4}{5}}\ge\dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi \(m=\dfrac{4}{5}\), khi đó đường tròn có phương trình \(x^2+y^2-\dfrac{16}{5}x-\dfrac{2}{5}y+\dfrac{9}{5}=0\). Đáp số: \(x^2+y^2-\dfrac{16}{5}x-\dfrac{2}{5}y+\dfrac{9}{5}=0\)
Cho hai đường tròn \(\left(C_1\right):x^2+y^2-4y-5=0\) \(\left(C_2\right):5x^2+5y^2-16x+12y-25=0\) Trong bốn kết luận sau, chỉ có một kết luận đúng. Đó là kết luận nào ? \(\left(C_1\right)\&\left(C_2\right)\) tiếp xúc ngoài nhau \(\left(C_1\right)\&\left(C_2\right)\) tiếp xúc trong nhau \(\left(C_1\right)\&\left(C_2\right)\) ngoài nhau \(\left(C_1\right)\&\left(C_2\right)\) cắt nhau Hướng dẫn giải: Xác định tâm và bán kính của hai đường tròn: \(x^2+y^2-4y-5=0\Leftrightarrow x^2+\left(y-2\right)^2=9\), \(\left(C_1\right)\) có tâm \(I_1\left(0;2\right)\), bán kính \(R_1=3\). \(5x^2+5y^2-16x+12y-25=0\Leftrightarrow x^2+y^2-\dfrac{16}{5}x+\dfrac{12}{5}y-5=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{8}{5}\right)^2+\left(y+\dfrac{6}{5}\right)^2=9\), \(\left(C_2\right)\) có tâm \(I_2\left(\dfrac{8}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\), bán kính \(R_2=3\). Khoảng cách hai tâm \(I_1I_2=\sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{6}{5}-2\right)^2}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}\). Tổng hai bán kính \(R_1+R_2=6\); \(R_1+R_2>I_1I_2\), hai đường tròn cắt nhau.
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào không phải là phương trình đường tròn? \(x^2+y^2-6x+4y-13=0\). \(x^2+y^2+2x-4y+9=0\). \(2x^2+2y^2-8x-4y-6=0\). \(x^2+y^2-6x-10y+25=0\). Hướng dẫn giải: Ta có a) \(x^2+y^2-6x+4y-13=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=\left(\sqrt{26}\right)^2\) là phương trình đường tròn tâm I(3;-2) bán kính \(\sqrt{26}\). b) \(x^2+y^2+2x-4y+9=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=-4\) không phải là phương trình đường tròn. c) \(2x^2+2y^2-8x-4y-6=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\sqrt{8}\right)^2\) là phương trình đường tròn tâm I(2;1) bán kính bằng \(\sqrt{8}\). d) \(x^2+y^2-6x-10y+25=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=9\) là phương trình đương tròn tâm I(3;5) bán kính bằng 3. Đáp số: \(x^2+y^2+2x-4y+9=0\)
Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A(7;0), B(1;3), C(5;6) \(x^2+y^2+9x-2y+5=0\). \(x^2+y^2-9x-5y+14=0\). \(x^2+y^2+9x+5y+14=0\). \(x^2+y^2+9x+5y-14=0\). Hướng dẫn giải: Cách 1: Tọa độ điểm A(7;0) phải thỏa mãn phương trình. Thay \(y=0\) , \(x=7\) vào 4 phương trình ta thấy ba phương trình không được nghiệm đúng, chỉ có duy nhất phương trình \(x^2+y^2-9x-5y+14=0\) được nghiệm đúng. Dễ thử lại cả hai điểm B và C đều có tọa độ thỏa mãn phương trình này. Đáp số: \(x^2+y^2-9x-5y+14=0\). Cách 2: Phương trình đường tròn tổng quát có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\). Giả thiết đường tròn qua 3 điểm đã cho tương đương với \(\left\{{}\begin{matrix}49-14a+c=0\\10-2a-6b+c=0\\61-10a-12b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-14a+c=-49\\-2a-6b+c=-10\\-10a-12b+c=-61\end{matrix}\right.\) Sử dụng máy tính cầm tay giải hẹ phương trình 3 ẩn này ta được \(a=\dfrac{9}{2};b=\dfrac{5}{2};c=14\). Đường tròn qua A, B, C có phương trình \(x^2+y^2-9x-5y+14=0\).
Viết phương trình đường tròn tâm I(-2;1) và tiếp xúc với đường thẳng (d): \(3x-4y-5=0\). \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\). \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=3\). \(x^2+y^2+4x-2y-4=0\). \(x^2-y^2+4x-2y-4=0\). Hướng dẫn giải: Vì đường tròn đã cho có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng (d) nên khoảng cách từ I tới (d) là bán kính của đường tròn: \(R=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-4.1-5\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\) Vậy đường tròn đã cho có tâm I(-2;1) và bán kính \(R=3\). Phương trình của đường tròn là \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=9\Leftrightarrow x^2+y^2+4x-2y-4=0\)
Viết phương trình các đường tròn qua điểm A(2;4) và tiếp xúc với hai trục tọa độ. \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\); \(x^2+x+y^2+y-36=0\). \(\left(x-10\right)^2+\left(y-10\right)^2=100\); \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\). \(x^2+y^2+x+y+4=0\); \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\). \(x^2+x+y^2+y-36=0\); \(\left(x-10\right)^2+\left(y-10\right)^2=100\) Hướng dẫn giải: Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ thì tâm của nó phải nằm trên một trong hai đường thẳng \(y=x\) hoặc \(y=-x\). - Nếu tâm I nằm trên đường thẳng \(y=x\) thì \(I\left(t;t\right)\). Khoảng cách từ I tới hai trục phải bằng khoảng cách IA (bằng bán kính đường tròn): \(\left|t\right|=\sqrt{\left(t-2\right)^2+\left(t-4\right)^2}\Leftrightarrow t^2=\left(t-2\right)^2+\left(t-4\right)^2\Leftrightarrow t^2-12t+20=0\Leftrightarrow\) \(t=2;t=10\). Với \(t=2\) thì tâm I(2;2), bán kính 2, đường tròn có phương trình \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\). Với \(t=10\) thì ta có đường tròn \(\left(x-10\right)^2+\left(y-10\right)^2=100\). - Nếu tâm I nằm trên đường thẳng \(y=-x\)thì \(I\left(t;-t\right)\) và có phương trình \(\left|t\right|=\left|-t\right|=\sqrt{\left(t-2\right)^2+\left(-t-4\right)^2}\) \(\Leftrightarrow t^2+4t+20=0\). Phương trình vô nghiệm. Đáp số: \(\left(x-10\right)^2+\left(y-10\right)^2=100\); \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\)
Viết phương trình đường tròn biết đường kính AB với A(1;1) và B(7;5). \(x^2+y^2+9x+6y+5=0\). \(x^2+y^2-8x-6y+18=0\). \(x^2+y^2-8x+6y-18=0\). \(x^2+y^2+6x+9y-12=0\). Hướng dẫn giải: Đường tròn đã cho có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính bằng khoảng cách IA. I có tọa độ: \(x=\dfrac{1+7}{2}=4;y=\dfrac{1+5}{2}=3\); Khoảng cách \(IA=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{7}\). Đường tròn đã cho có phương trình \(\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=7\Leftrightarrow x^2+y^2-8x-6y+18=0\)
