Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(y=x\), có bán kính bằng 4 và tiếp xúc với hai trục tọa độ. \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\). \(\left(x+4\right)^2+\left(y+4\right)^2=16\). \(\left(x-4\right)^2+\left(y+4\right)^2=16\). \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x+4\right)^2+\left(y+4\right)^2=16\). Hướng dẫn giải: Gọi I(t;t) là tâm đường tròn đã cho. Khoảng cách từ I tới hai trục tọa độ là \(\left|t\right|\) phải bằng bán kính đường tròn, tức là phải có \(t^2=4^2\Leftrightarrow t=\pm4\). Có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán, phương trình của chúng là \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x+4\right)^2+\left(y+4\right)^2=16\)
Viết phương trình đường tròn có tâm \(I\left(6;2\right)\) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\). \(x^2+y^2-12x-4y+31=0\). \(x^2+y^2-12x-4y-9=0\). \(x^2+y^2-6x-2y+31=0\). \(x^2+y^2-8x+4y+3=0\). Hướng dẫn giải: (C) có tâm E(2;-1), bán kính \(r=2\). Gọi R là bán kính đường tròn tâm I(6;2) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) thì ta phải có \(R+r=IE\Leftrightarrow R=IE-r=IE-2\). Ta có \(IE=\sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(2+1\right)^2}=5\), vì vậy \(IE=5-2=3\). Phương trình đường tròn cần tìm là \(\left(x-6\right)^2+\left(y-2\right)^2=9\Leftrightarrow x^2+y^2-12x-4y+31=0\) Đáp số: \(x^2+y^2-12x-4y+31=0\)
Có bao nhiêu số nguyên m để \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+3m^2+6m-12=0\) là phương trình của một đường tròn? 9. 5. 7. 0. Hướng dẫn giải: \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+3m^2+6m-12=0\Leftrightarrow\left(x-m-1\right)^2+\left(y-0\right)^2=-2m^2-8m+11\) Phương trình trên là phương trình đường tròn khi \(-2m^2-8m+11>0\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2< \dfrac{19}{2}\). Nếu m là số nguyên thì \(\left(m+4\right)^2\) là nột số chính phương nhỏ hơn \(\dfrac{19}{2}\), do đó \(\left(m+4\right)^2=0;1;4;9\). Kết quả: Có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đáp số: 7.
Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(-3;1), B(5;7). \(x^2+y^2-2x-8y-8=0\). \(x^2+y^2+4x+7y-8=0\). \(x^2+y^2+2x-8y-8=0\). \(x^2+y^2+4x-7y-8=0\). Hướng dẫn giải: Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính bằng khoảng cách AI. I có tọa độ \(x=\dfrac{-3+5}{2}=1;y=\dfrac{1+7}{2}=4\). Khoảng cách \(IA=\sqrt{\left(-3-1\right)^2+\left(1-4\right)^2}=5\). Phương trình đường tròn đường kính AB: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=25\Leftrightarrow x^2+y^2-2x-8y-8=0\).
Cho hai diểm A(-1;2), B(3;0) và đường thẳng d: \(7x+y-6=0\). Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d đã cho. \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\). \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\). \(\left(x+9\right)^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{425}{9}\). \(\left(x+\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\). Hướng dẫn giải: \(I\in d\Leftrightarrow I\left(t;-7t+6\right)\). I là tâm đường tròn qua A, B nên \(IA=IB\Rightarrow\left(t+1\right)^2+\left(-7t+6-2\right)^2=\left(t-3\right)^2+\left(-7t+6\right)^2\) \(\Leftrightarrow2t-56t+1+16=-6t-84t+9+36\Leftrightarrow36t=28\Leftrightarrow t=\dfrac{7}{9}\). Vậy \(I\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9}\right)\). Bán kính \(R=IB=\sqrt{\left(\dfrac{7}{9}-3\right)^2+\left(-\dfrac{49}{9}+6\right)^2}=\sqrt{\dfrac{425}{81}}\) . Đáp số: \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\). Cách khác (trắc nghiệm): - Dùng máy tính CASIO (MODE 1, lệnh CALC) tính giá trị biểu thức \(7x+y-6\) lần lượt tại \(\left(x=\dfrac{7}{9};y=\dfrac{5}{9}\right)\) , \(\left(x=-9;y=2\right)\), \(\left(x=-\dfrac{7}{9};y=-\dfrac{5}{9}\right)\) ta thấy biểu thức có giá trị 0 chỉ tại \(\left(x=\dfrac{7}{9};y=\dfrac{5}{9}\right)\), do đó hai đường tròn \(\left(x+9\right)^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{425}{9}\) và \(\left(x+\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\) có tâm không nằm trên (d). - Tính giá trị biểu thức \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2\) tại \(\left(x=3;y=0\right)\) ta được giá trị \(\dfrac{425}{9}\) nên chỉ có đường tròn \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\) đi qua B. Đáp số: \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\)
Tìm các giá trị của tham số m để \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) là phương trình đường tròn. \(-1\le m\le5\). \(m\le1;m\ge\dfrac{3}{2}\). \(m\ge2\). \(\forall m\). Hướng dẫn giải: \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-m-1\right)^2+\left(y-m+2\right)^2=\left(m+1\right)^2+\left(m-2\right)^2-3m-2\) \(\Leftrightarrow\left(x-m-1\right)^2+\left(y-m+2\right)^2=2m^2-5m+3\) (1) (1) là phương trình đường tròn khi \(2m^2-5m+3\ge0\Leftrightarrow m\le1;m\ge\dfrac{3}{2}\).
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=7\) \(I\left(4;-2\right),R=7\) \(I\left(4;-2\right),R=\sqrt{7}\) \(I\left(-4;2\right),R=\sqrt{7}\) \(I\left(-4;2\right),R=7\) Hướng dẫn giải: Sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left(x-5\right)^2+\left(y+7\right)^2=15\) \(I\left(-5;7\right),R=15\) \(I\left(-5;7\right),R=\sqrt{15}\) \(I\left(5;-7\right),R=15\) \(I\left(5;-7\right),R=\sqrt{15}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(x^2+y^2-10x-10y=55\) \(I\left(5;5\right),R=105\) \(I\left(-5;-5\right),R=105\) \(I\left(-5;-5\right),R=\sqrt{5}\) \(I\left(5;5\right),R=\sqrt{105}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình \(x^2+y^2-10x-10y=55\) dưới dạng \(\left(x-5\right)^2+\left(y-5\right)^2=\left(\sqrt{105}\right)^2\) và sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(x^2+y^2+8x-6y+8=0\) \(I\left(4;-3\right),R=17\) \(I\left(4;-3\right),R=\sqrt{17}\) \(I\left(-4;3\right),R=\sqrt{17}\) \(I\left(-4;3\right),R=5\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình \(x^2+y^2+8x-6y+8=0\) dưới dạng \(\left(x+4\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(\sqrt{17}\right)^2\) và sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
