Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(x^2+y^2-6x-4y=36\) \(I\left(-3;-2\right),R=7\) \(I\left(-3;-2\right),R=49\) \(I\left(3;2\right),R=7\) \(I\left(3;-2\right),R=7\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình \(x^2+y^2-6x-4y=36\) dưới dạng \(\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=7^2\) và sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(x^2+y^2+4x+10y+15=0\) \(I\left(2;5\right),R=29\) \(I\left(-2;-5\right),R=\sqrt{14}\) \(I\left(-2;-5\right),R=\sqrt{29}\) \(I\left(2;5\right),R=\sqrt{29}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình \(x^2+y^2+4x+10y+15=0\) dưới dạng \(\left(x+2\right)^2+\left(y+5\right)^2=\left(\sqrt{14}\right)^2\) và sử dụng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x^2+y^2-2mx+4my+m^2+3m+1=0\) là phương trình đường tròn. \(m>1\) \(m>-\dfrac{1}{4}\) \(-\dfrac{1}{4}< m< 1\) \(m< -\dfrac{1}{4};m>1\) Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) với \(a=m,b=-2m,c=m^2+3m+1\). Do đó, phương trình đã cho sẽ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \(a^2+b^2>c\) hay \(m^2+\left(-2m\right)^2>m^2+3m+1\Leftrightarrow4m^2-3m-1>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(4m+1\right)>0\) \(\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4};m>1\)
Viết phương trình đường tròn biết đường kính AB với A(7;-3) và B(1;7). \(x^2+y^2+8x+4y-14=0\). \(x^2+y^2-8x-4y-14=0\). \(x^2+y^2-8x+6y-18=0\). \(x^2+y^2+6x+9y-12=0\). Hướng dẫn giải: Đường tròn đã cho có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính bằng khoảng cách IA. I có tọa độ: \(x=\dfrac{1+7}{2}=4;y=\dfrac{7-3}{2}=2\); Khoảng cách \(IA=\sqrt{3^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{34}\). Đường tròn đã cho có phương trình \(\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2=34\Leftrightarrow x^2+y^2-8x-4y-14=0\) Cách khác: \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(x-1\right)+\left(y+3\right)\left(y-7\right)=0\Leftrightarrow x^2+y^2-8x-4y-14=0\)
Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(-3;2) và B(7;-4). \(x^2+y^2+4x-2y-29=0\) \(x^2+y^2+4x+2y-29=0\) \(x^2+y^2-4x+2y-29=0\) \(x^2+y^2-4x+2y-9=0\) Hướng dẫn giải: Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-7\right)+\left(y-2\right)\left(y+4\right)=0\) hay \(x^2+y^2-4x+2y-29=0\)
Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A(1;2); B(5;2); C(1;-3) . \(x^2+y^2-6x+y-5=0\) \(x^2+y^2-6x+y-1=0\) \(x^2+y^2+6x+y-1=0\) \(x^2+y^2+6x-y-1=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn cần tìm có dạng \(x^2+y^2-2ax-2bx+c=0\). Đường tròn qua 3 điểm A, B, C nên \(\left\{{}\begin{matrix}1^2+2^2-2a.1-2b.2+c=0\\5^2+2^2-2a.5-2b.2+c=0\\1^2+\left(-3\right)^2-2a.1-2b.\left(-3\right)+c=0\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn này, chẳng hạn bằng MTCT ta được \(\left(a=3;b=-\dfrac{1}{2};c=-1\right)\). Phương trình của (C) là \(x^2+y^2-2y+4=0\) Đáp số: \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).
Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm M(-2;4), N(5;5), P(6;-2) . \(x^2+y^2-6x+y-5=0\) \(x^2+y^2-6x+y-1=0\) \(x^2+y^2+6x+y-1=0\) \(x^2+y^2+6x-y-1=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn cần tìm có dạng \(x^2+y^2-2ax-2bx+c=0\). Đường tròn qua 3 điểm M, N, P nên \(\left\{{}\begin{matrix}\left(-2\right)^2+4^2-2a.\left(-2\right)-2b.4+c=0\\5^2+5^2-2a.5-2b.5+c=0\\6^2+\left(-2\right)^2-2a.6-2b.\left(-2\right)+c=0\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn này, chẳng hạn bằng MTCT ta được \(\left(a=2;b=1;c=-20\right)\). Phương trình của (C) là \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\) Đáp số: \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).
Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;1) và B(7;5). \(x^2+y^2-8x-6y-10=0\) \(x^2+y^2-8x+6y+12=0\) \(x^2+y^2+8x-6y+12=0\) \(x^2+y^2+8x-6y-12=0\) Hướng dẫn giải: Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-7\right)+\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0\) hay \(x^2+y^2-8x-6y+12=0\)
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(4x-2y-8=0\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ. \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\). \(\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\). \(\left(x-4\right)^2+\left(y+4\right)^2=16\). \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\). Hướng dẫn giải: Đường thẳng đã cho có phương trình \(4x-2y-8=0\Leftrightarrow y=2x-4\). Gọi I là tâm đường tròn đã cho thì I có tọa độ \(\left(t;2t-4\right)\). Khoảng cách từ I tới hai trục tọa độ là \(\left|t\right|\) và \(\left|2t-4\right|\) và phải bằng bán kính đường tròn, tức là \(\left|2t-4\right|=\left|t\right|\Leftrightarrow2t-4=\pm t\Leftrightarrow t=4;t=\dfrac{4}{3}\) Với \(t=4\) thì \(I\left(4;4\right)\) và đường tròn có phương trình \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\). Với \(t=\dfrac{4}{3}\) thì \(I\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\) và đường tròn có phương trình \(\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\) Có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán, phương trình của chúng là \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\)
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(3x-5y-8=0\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ. \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\). \(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\). \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1\). \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1\). Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm đường tròn đã cho. Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ khi và chỉ khi I cách đều 2 trục tọa độ, do đó I chạy trên hai đường thảng \(y=x\) và \(y=-x\). Như vậy I là giao điểm của đường thẳng đã cho \(3x-5y-8=0\) với cặp đường thẳng \(y=\pm x\). Tọa độ của I là nghiệm hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}y=\pm x\\3x-5y-8=0\end{matrix}\right.\) Giải hệ này ta được \(\left(x=4;y=4\right)\) và \(\left(x=1;y=-1\right)\). Có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán, phương trình của chúng là \(\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\); \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1\)
