Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm A(2;-1) \(\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=1\) \(\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=1\); \(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1;\left(x-5\right)^2+\left(y+5\right)^2=25\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=2;\left(x-5\right)^2+\left(y+5\right)^2=16\) Hướng dẫn giải: Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ khi và chỉ khi tâm I của nó cách đều hai trục tọa độ một khoảng bằng bán kính, nghĩa là I(a;a) hoặc I(a;-a) và bán kính \(R=\left|a\right|\). Từ đó đường tròn có phương trình thuộc một trong hai dạng \(\left(x-a\right)^2+\left(y-a\right)^2=a^2\) hoặc \(\left(x-a\right)^2+\left(y+a\right)^2=a^2\). Sử dụng điều kiện đường tròn qua điểm A(2;-1) ta được: \(\left(2-a\right)^2+\left(1-a\right)^2=a^2\) (phương trình vô nghiệm) hoặc \(\left(2-a\right)^2+\left(-1+a\right)^2=a^2\Leftrightarrow a^2-6a+5=0\Leftrightarrow a=1;a=5\) Với \(a=1\) ta được đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1^2\) Với \(a=5\) ta được đường tròn \(\left(x-5\right)^2+\left(y+5\right)^2=5^2=25\)
Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(-1;1) và B(5;3). \(x^2+y^2-4x+4y-2=0\) \(x^2+y^2-4x-4y-3=0\) \(x^2+y^2-4x-4y-2=0\) \(x^2+y^2-6x-4y-2=0\) Hướng dẫn giải: Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-5\right)+\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\) hay \(x^2+y^2-4x-4y-2=0\)
Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(-1;-2) và B(2;1). \(x^2+y^2-x+y-4=0\) \(x^2+y^2-x+y-2=0\) \(x^2+y^2+x+y-4=0\) \(x^2+y^2+x-y-4=0\) Hướng dẫn giải: Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)+\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0\) hay \(x^2+y^2-4x-4y-4=0\)
Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình đường tròn? \(x^2+y^2-6x+8y+100=0\) \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\) \(2x^2+2y^2-4x+8y-2=0\) \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\sqrt{5}\) Hướng dẫn giải: \(x^2+y^2-6x+8y+100=0\) không phải là phương trình đường tròn vì \(a^2+b^2-c=3^2+\left(-4\right)^2-100=-75< 0\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=100\) là phương trình đường tròn tâm I(2;-3) bán kính R = 10. Với mọi giá trị của m, \(\left(x+m\right)^2+\left(y-m+1\right)^2=m^2\) là phương trình đường tròn tâm I (-m; m-1) bán kính R = m Với mọi giá trị của m, \(x^2+y^2-2mx+4my-5=0\) là phương trình đường tròn Với mọi giá trị của m, \(2x^2+2y^2+x+2y-m^2+m-1=0\) là phương trình đường tròn Hướng dẫn giải: Vì bán kính phải là số dương nên khẳng định " Với mọi giá trị của m, \(\left(x+m\right)^2+\left(y-m+1\right)^2=m^2\) là phương trình đường tròn tâm I (-m; m-1) bán kính R = m " là khẳng định sai.
Cho 3 điểm A(1;4), B(-7;4), C(2;-5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. \(x^2-y^2-6x-2y-31=0\) \(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=41\) \(\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2=41\) \(x^2+y^2+6x+2y-41=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\). Điều kiện để đường tròn này ngoại tiếp ABC là \(\left\{{}\begin{matrix}-2a-8b+c=-17\\14a-8b+c=-65\\-4a+10b+c=-29\end{matrix}\right.\) Dùng máy tính cầm tay giả hệ này ta được \(a=-3,b=-q,c=-31\). Đáp số: \(\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2=41\)
Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R và cho diểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình: \(a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0\) \(\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\) \(\left(a-x_0\right)\left(x+x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y+y_0\right)=0\) \(\left(a+x_0\right)\left(x+x_0\right)+\left(b+y_0\right)\left(y+y_0\right)=0\) Hướng dẫn giải: Tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính IM. Như vậy, tiếp tuyến là đường thẳng qua \(M\left(x_0;y_0\right)\)và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{IM}\left(x_0-a;y_0-b\right)\), do đó tiếp tuyến có phương trình: \(\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\)
Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa đọ tới đường tròn \(x^2+y^2-8x-6y=0\) \(4x+3y+5=0\) \(4x+3y=0\) \(4x-3y=0\) \(4x-3y-5=0\) Hướng dẫn giải: Chú ý rằng O(0;0) có tọa độ thỏa mãn \(x^2+y^2-8x-6y=0\) nên O nằm trên đường tròn, tiếp tuyến qua O cũng là tiếp tuyến tại O. Vì vậy tiếp tuyến qua O cũng là tiếp tuyến tại O. Dễ thấy đường tròn đã cho có tâm là I(4;3) nên phương trình tiếp tuyến tại O là \(4\left(x-0\right)+3\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow4x+3y=0\)
Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1;0) tới đường tròn \(x^2+y^2-4x+8y-5=0\) \(3x+4y+3=0\) \(3x-4y+3=0\) \(-3x+4y+3=0\) \(3x-5y+3=0\) Hướng dẫn giải: - Ta có \(x^2+y^2-4x+8y-5=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2=5^2\) nên đường tròn đã cho có tâm I(2;-4) và bán kính R= 5. - Vì khi \(x=-1;y=0\) biểu thức \(-3x+4y+3\) có giá trị bằng 6 \(\ne0\) nên đường thẳng \(-3x+4y+3=0\) không đi qua A(-1;0). Đáp số \(-3x+4y+3=0\) không đúng. Dễ thấy các đường thẳng với phương trình cho trong các đáp số còn lại đều qua A(-1;0), vì vậy chỉ còn phải thử điều kiện tiếp xúc với đường tròn đã cho, tức là khoảng cách từ tâm I(2;-4) của đường tròn tới đường thẳng phải bằng bán kính R = 5 của đường tròn: - Thử đáp số \(3x+4y+3=0\): Khoảng cách từ I(2;-4) tới đường thẳng này là \(\dfrac{\left|3.2+4.\left(-4\right)+3\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{7}{5}\ne5\). Không thỏa mãn. - Thử đáp số \(3x-4y+3=0\): \(\dfrac{\left|3.2-4.\left(-4\right)+3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{25}{5}=5\), thỏa mãn. Đáp số đúng là \(3x-4y+3=0\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình đường tròn? \(x^2+y^2-4=0\) \(x^2+y^2+x+y+2=0\) \(x^2+y^2+x+y=0\) \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn tổng quát có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) với điều kiện \(a^2+b^2>c\)
