Cho 3 điểm \(A\left(-2;0\right),B\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right),C\left(2;0\right)\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là \(x^2+y^2-4=0\) \(x^2+y^2-4x+4=0\) \(x^2+y^2+4x-4y+4=0\) \(x^2+y^2=2\) Hướng dẫn giải: Tọa độ A, B, C đều thỏa mãn phương trình \(x^2+y^2-4=0\)
Cho hai điểm A(3;0), B(0;4). Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là \(x^2+y^2-2x-2y+1=0^{ }\) \(x^2+y^2=1\) \(x^2+y^2=2\) \(x^2+y^2-6x-8y+25=0^{ }\) Hướng dẫn giải: Hai đường tròn \(x^2+y^2=1\) ; \(x^2+y^2=2\) đều có tâm là O(0;0) nên không thể nội tiếp tam giác OAB được. Đường tròn \(x^2+y^2-6x-8y+25=0^{ }\) có tâm I(3;4) nằm ngoài tam giác OAB cũng không thể nội tiếp OAB được. Vì vậy chỉ có thể là \(x^2+y^2-2x-2y+1=0^{ }\) là phương trình đường tròn nội tiép OAB.
Tiếp tuyến với đường tròn \(x^2+y^2=2\) tại điểm \(T\left(1;1\right)\) có phương trình là \(x+y-2=0\) \(x+y+1=0\) \(2x+y-3=0\) \(x-y=0\) Hướng dẫn giải: Đường tròn đã cho có tâm là gốc tọa độ O(0;0). Tiếp tuyến tại T(1;1) là đường thẳng qua T(1;1) và cóp vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{OT}\left(1;1\right)\), do đó tiếp tuyến có phương trình \(1\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-2=0\)
Số đường thẳng đi qua điểm M(5;6) và tiếp xúc với đường tron (C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\) là 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: (C) có tâm I(1;1) và bán kính R = 1. Khoảng cách \(IM=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(6-1\right)^2}>1\) nên điểm M nằm ngoài đường tròn (C). Do đó qua điểm M kẻ được tới đường tròn 2 tiếp tuyến phân biệt.
Có bao nhiêu tiếp tuyến với đường tròn (C): \(x^2+y^2-8x-4y=0\) đi qua gốc tọa độ? 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: Điểm O(0;0) có tọa độ thỏa mãn phương trình (C) nên O nằm trên đường tròn (C). Số tiếp tuyến đi qua O là 1.
Cho hai đường tròn cắt nhau với phương trình lần lượt là \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) và \(x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0\) Trục đẳng phương của hai đường tròn này có phương trình là \(-\left(a-a'\right)x-\left(b-b'\right)y+\left(c-c'\right)=0\) \(-2\left(a-a'\right)x-2\left(b-b'\right)y+\left(c-c'\right)=0\) \(2\left(a-a'\right)x-2\left(b-b'\right)y+\left(c-c'\right)=0\) \(-2\left(a-a'\right)x+2\left(b-b'\right)y+\left(c-c'\right)=0\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết đường thẳng nối hai giao điểm của hai đường tròn chính là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. Mặt khác, nếu \(M\left(x_0;y_0\right)\) là một trong hai giao điểm của hai đường tròn đã cho thì phải có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0^2+y_0^2-2ax_0-2by_0+c=0\\x_0^2+y_0^2-2a'x_0-2b'y_0+c'=0\end{matrix}\right.\) Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta được \(-2\left(a-a'\right)x_0-2\left(b-b'\right)y_0+\left(c-c'\right)=0\). Đẳng thức này chứng tỏ một giao điểm tùy ý của hai đường tròn đã cho đều có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc nhất \(-2\left(a-a'\right)x-2\left(b-b'\right)y+\left(c-c'\right)=0\) (1) Do đó (1) chính là phương trình đường thẳng nối 2 giao điểm của 2 đường tròn, tức là phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn đó.
Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm O, hai trục đối xứng là Ox, Oy và đi qua hai điểm \(M\left(4;-\sqrt{3}\right);N\left(-2\sqrt{2};3\right)\). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{20}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có tâm O và hai trục đối xứng là Ox, Oy nên (E) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với \(a^2>b^2\). Từ giả thiết elip qua hai điểm \(M\left(4;-\sqrt{3}\right);N\left(-2\sqrt{2};3\right)\) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1\\\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{20}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{15}=1\)
Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm O, hai trục đối xứng là 2 trục tọa độ. (E) qua hai điểm \(M\left(-2\sqrt{3};\frac{3}{2}\right)\) và \(N\left(2;-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\). \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với \(a^2>b^2\). Giả thiết elip qua \(M\left(-2\sqrt{3};\frac{3}{2}\right)\) và \(N\left(2;-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(-2\sqrt{3}\right)^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{b^2}=1\\\dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}{b^2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12.\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{b^2}=1\\\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{27}{4}.\dfrac{1}{b^2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=16\\b^2=9\end{matrix}\right.\) Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
Một elip (E) có trục lớn bằng hai lần trục nhỏ. Tính tâm sai của elip. \(e=\frac{3}{4}\) \(e=\sqrt{\frac{2}{3}}\) \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(e=\sqrt{\frac{3}{5}}\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), trục lớn và trục nhỏ có độ dài lần lượt là \(2a,2b\). Từ giả thiết suy ra: \(2a=2.2b\), do đó \(b=\dfrac{a}{2}\) suy ra \(c^2=a^2-b^2=a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\Rightarrow\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Đáp số: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Khoảng cách giữa 2 đỉnh liên tiếp của một elip bằng tiêu cự của elip đó. Tính tâm sai của elip. \(e=\sqrt{\frac{2}{3}}\) \(e=\sqrt{\frac{3}{5}}\) \(e=\sqrt{\frac{2}{5}}\) \(e=\sqrt{\frac{4}{5}}\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tiêu cự bằng \(2c\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), bốn đỉnh có tọa độ là \(\left(\pm a;0\right),B\left(0;\pm b\right)\), khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp là \(\sqrt{a^2+b^2}\). Từ giả thiết suy ra \(\sqrt{a^2+b^2}=2c\Leftrightarrow a^2+b^2=4c^2\), do đó \(2a^2=\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)=4c^2+c^2=5c^2\). Do đó \(e^2=\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow e=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\) Đáp số: \(e=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\).
