Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm đối xứng O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, tiêu điểm nằm trên trục \(\overrightarrow{Ox}\), tiêu cự bằng 8 và qua điểm \(M\left(\sqrt{15};-1\right)\). \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tiêu cự \(2c\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ giả thiết tiêu cự bằng 8 suy ra \(2c=8\Leftrightarrow c=4\), \(b^2=a^2-c^2=a^2-16\) , điều kiện \(a^2>16\). Phương trình của elip trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-16}=1\). Giả thiết elip qua điểm \(M\left(\sqrt{15};-1\right)\) suy ra \(\dfrac{15}{a^2}+\dfrac{1}{a^2-16}=1\Leftrightarrow\) \(a^4-32a^2+240=0\)\(\Leftrightarrow a^2=20;a^2=12\) (loại) \(\Leftrightarrow a^2=20,b^2=4\) Đáp số: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{4}=1\).
Viết phương trình chính tắc elip (E) có hai tiêu điểm nằm trên trục hoành, tâm đối xứng là gốc tọa độ O, tâm sai \(e=\frac{2}{3}\) và đi qua điểm \(N\left(2;-\frac{5}{3}\right)\). \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), các đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\). Từ giả thiết tâm sai \(e=\dfrac{2}{3}\) suy ra: \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow3c=2a\Rightarrow4a^2=9c^2=9\left(a^2-b^2\right)\Rightarrow b^2=\dfrac{5a^2}{9}\), phương trình elip trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{9y^2}{5a^2}=1\). Lại do giả thiết elip qua điểm \(N\left(2;-\dfrac{5}{3}\right)\) suy ra \(\dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{9\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2}{5a^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{5}{a^2}=1\Leftrightarrow a^2=9,b^2=\dfrac{5}{9}a^2=5\) Đáp số: \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\).
Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O, tiêu điểm nằm trên trục hoành, khoảng cách giữa 2 tiêu điểm bằng 4, khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5. \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{5}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)\) với \(c^2=a^2-b^2\), hai đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) là \(2c\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\). Từ các giả thiết suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}2c=4\\\dfrac{2a^2}{c}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\a^2=5\end{matrix}\right.\), \(b^2=a^2-c^2=5-4=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{5}+y^2=1\).
Viết phương trình chính tắc elip (E) có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, tiêu điểm nẳm trên trục hoành, tâm sai \(e=\frac{3}{4}\), khoảng cách từ tâm đối xứng đến một đường chuẩn là \(\frac{16}{3}\). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), hai đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), tâm đối xứng cách mỗi đường chuẩn là \(\dfrac{a^2}{c}\). Từ các giả thiết suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{4}\\\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}.\dfrac{16}{3}=4\\c=\dfrac{3}{4}.a=3\end{matrix}\right.\), \(b^2=a^2-c^2=16-9=7\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1\).
Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O, tiêu điểm nằm trên trục hoành, tâm sai \(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\) và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là \(8\sqrt{2}\). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), các đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\). Từ các giả thiết suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{2a^2}{c}=8\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.8\sqrt{2}\\c=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\c=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\), \(b^2=a^2-c^2=16-8=8\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1\).
Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm O, trục lớn nằm trên Ox, qua điểm \(M\left(\sqrt{5};-2\right)\) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10. \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1\) \(\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{6}=1\) \(\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{9}=1\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), hai đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\), theo giả thiết có \(\dfrac{2a^2}{c}=10\) suy ra \(a^2=5c\), \(b^2=a^2-c^2=5c-c^2\) và phương trình của elip là \(\dfrac{x^2}{5c}+\dfrac{y^2}{5c-c^2}=1\). Giả thiết elip qua \(M\left(\sqrt{5};-2\right)\) suy ra \(\dfrac{5}{5c}+\dfrac{4}{5c-c^2}=1\Leftrightarrow c^3-6c^2-9c=0\Leftrightarrow c\left(c-3\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow c=3\). Phương trình elip là \(\dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{6}=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{6}=1\).
Cho elip \(\left(E\right):9x^2+16y^2-144=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Trục lớn của elip bằng 8 Tiêu cự của elip bằng \(2\sqrt{7}\) Tâm sai (tức là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn) của elip bằng \(\frac{\sqrt{7}}{3}\) Trục bé của elip bằng 6. Hướng dẫn giải: \(\left(E\right):9x^2+16y^2-144=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\), suy ra \(a=4,b=3,c=\sqrt{7}\). Trục lớn \(2a=8\), trục bé bằng \(2c=6\), tiêu cự \(2c=2\sqrt{7}\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\), hai đường chuẩn có phương trình \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm\dfrac{16}{\sqrt{7}}\). Khẳng định sai là " Tâm sai của elip bằng \(\dfrac{\sqrt{7}}{3}\)"
Cho elip (E) : \(4x^2+9y^2-36=0\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Trục nhỏ của elip bằng 4 Tọa độ tiêu điểm \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right);F_2\left(\sqrt{5};0\right)\) Trục lớn của elip bằng 6 Hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 48 Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của elip đã cho: \(4x^2+9y^2-35=0\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) Suy ra \(a=3;b=2;c=\sqrt{5}\), trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. Hình chữ nhật cơ sở có hai kích thước bằng trục lớn và trục nhỏ, do đó có diện tích bằng 24.
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm O, một tiêu điểm là \(F_1\left(-\sqrt{3},0\right)\) và đi qua điểm \(M\left(\sqrt{3};-\frac{1}{2}\right)\). \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\) \(\frac{x^2}{4}+2y^2=1\) Hướng dẫn giải: Vì \(F_1\left(-\sqrt{3},0\right)\) là một tiêu điểm nên suy ra \(c=\sqrt{3}\); \(b^2=a^2-c^2=a^2-3\). Phương trình của elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-3}=1\) \(\left(a^2>3\right)\) Điểm \(M\left(\sqrt{3};-\dfrac{1}{2}\right)\in\left(E\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4\left(a^2-3\right)}=1\Leftrightarrow4a^4-25a^2+36=0\) \(\Leftrightarrow a^2=\dfrac{9}{4}\) (loại vì vi phạm điều kiện \(a^2>3\)) ; \(a^2=4\) (thỏa mãn điều kiện ). Elip có phương trình \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai \(e=\frac{1}{\sqrt{5}}\), tâm đối xứng O, tiêu điểm nằm trên trục Ox, khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp bằng 3. \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{5}+y^2=1\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(c=\dfrac{a}{\sqrt{5}},a^2+b^2=9,b^2=a^2-c^2=a^2-\left(\dfrac{a}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4a^2}{5}\) \(\Rightarrow a^2+\dfrac{4a^2}{5}=9\Rightarrow a^2=5,b^2=4\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\).
