Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm \(F_1\left(-2;0\right);F_2\left(2;0\right)\) và đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\) Hướng dẫn giải: Tư giả thiết suy ra \(c=2\) , \(F_1M=\sqrt{\left(2+2\right)^2+3^2}=5\); \(F_2M=\sqrt{\left(2-2\right)^2+3^2}=3\). \(2a=F_1M+F_2M=8\Rightarrow a=4\), do đó \(b^2=a^2-c^2=16-4=12\). (E) có phương trình \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\)
Cho elip (E) : \(4x^2+9y^2-36=0\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây sai ? (E) có trục nhỏ bằng 4 (E) có tâm sai \(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\) (E) có tiêu điểm bên trái \(F_1\left(-\sqrt{5};0\right)\) (E) có tiêu cự bằng \(\sqrt{5}\) Hướng dẫn giải: (E): \(4x^2+9y^2-36=0\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\). Ta có \(a^2=9,b^2=4\Rightarrow a=3,b=2\)\(c^2=a^2-b^2=5\Rightarrow c=\sqrt{5}\) Trục nhỏ \(2b=4\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}=\)\(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\); \(F_1\left(-c;0\right)=\left(-\sqrt{5};0\right)\), tiêu cự \(2c=2\sqrt{5}\).
Viết phương trình elip (E) có tâm O, tiêu điểm nằm trên trục Ox, trục lớn bằng 16, tiêu cự bằng \(2\sqrt{15}\). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\) \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1\) Hướng dẫn giải: Trục lớn \(2a=16\Rightarrow a=8\). Tiêu cự \(2c=2\sqrt{15}\Rightarrow c=\sqrt{15}\); \(c^2=a^2-b^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2=64-15=49\). Vậy phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{49}=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{49}=1\).
Một elip (E) có tiêu điểm nằm trên trục Ox, tâm O, trục nhỏ có độ dài bằng 6. (E) đi qua điểm \(A\left(-2\sqrt{5};2\right)\). Tìm tâm sai (tỉ số \(\dfrac{c}{a}\)) của elip . \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{5}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(2b=6\Leftrightarrow b=3\). (E) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{9}=1\). Vì \(A\left(-2\sqrt{5};2\right)\) thuộc (E) này nên \(\dfrac{20}{a^2}+\dfrac{4}{9}=1\) , suy ra \(a^2=36\). Vì \(c^2=a^2-b^2\)\(=36-9\) hay \(c=3\sqrt{3}\) , do đó \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Đáp số: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm O, trục lớn nằm trên Ox và có độ dài bằng 8 biết rằng (E) đi qua B(-2;2). \(\frac{x^2}{16}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{2}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải: \(2a=8\Rightarrow a=4\). Phương trình của (E) có dạng \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Vì (E) đi qua \(B\left(-2;2\right)\) nên \(\dfrac{4}{16}+\dfrac{4}{b^2}=1\) Từ đó \(b^2=\dfrac{16}{3}\). Đáp số: \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1\)
Một elip (E) có tâm O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. Điểm \(M\left(8;12\right)\in E\) có bán kính qua tiêu điểm trái \(F_1M=20\). Tính tâm sai của (E) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) Hướng dẫn giải: Xét tiêu điểm bên trái \(F_1\left(-c;0\right)\), ta có \(F_1M=\sqrt{\left(8+c\right)^2+144}\). Do \(F_1M=20\Rightarrow\left(8+c\right)^2+144=400\Rightarrow8+c=16\) \(\Leftrightarrow c=8\). Do đó \(b^2=a^2-c^2=a^2-64\) và (E) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-64}=1\). Sử dụng giả thiết M(8;12) thuộc (E) suy ra: \(\dfrac{64}{a^2}+\dfrac{144}{a^2-64}=1\) hay \(a^4-272a^2+4096=0\), suy ra \(a^2=256\), \(a=16,\) \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\). Đáp số: \(\dfrac{1}{2}\)
Một elip (E) có tâm O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. Tiêu điểm nằm trên trục Ox. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm bằng 4. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 5. Hãy viết phương trình chính tắc của (E) . \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{5}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết \(2c=4\Rightarrow c=2\). Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}=5\Rightarrow a^2=5\) (do \(c=2\) ). Như vậy \(b^2=a^2-c^2=5-4=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{5}+y^2=1\).
Một elip (E) có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, tiêu điểm nằm trên trục Ox. (E) có tâm sai \(e=\frac{3}{4}\), khoảng cách từ tâm đối xứng đến một đường chuẩn bằng \(\frac{16}{3}\). Viết phương trình chính tắc của elip (E). \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\) Hướng dẫn giải: Vì \(e=\dfrac{c}{a}\) nên từ giả thiết suy ra \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{4};\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{16}{3}\) do đó \(c=\dfrac{3a}{4}.\dfrac{a^2}{\dfrac{3a}{4}}=\dfrac{16}{3}\) s Suy ra \(\dfrac{4a}{3}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\c=3\end{matrix}\right.\) và \(b^2=a^2-c^2=16-9=7\). Đáp số: (E): \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1\).
Một elip (E) có tâm sai \(e=\frac{\sqrt{5}}{5}\), tâm O, hai trục đối xứng là Ox, Oy, tiêu điểm nằm trên Ox và khoảng cách giữa 2 đỉnh liên tiếp bằng 3. Viết phương trình chính tắc của (E) . \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1\) Hướng dẫn giải: \(e=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow c=\dfrac{a}{\sqrt{5}}\). Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp là \(\sqrt{a^2+b^2}=3\Leftrightarrow a^2+b^2=9\) (*) Mà \(b^2=a^2-c^2=a^2-\dfrac{a^2}{5}=\dfrac{4a^2}{5}\) , thế vào (*) suy ra \(a^2=5,b^2=4\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\). Đáp số: \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\)
Cho một elip (E) có hai tiêu điểm \(F_1\left(-2;0\right);F_2\left(2;0\right)\) và đi qua \(M\left(2;3\right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? (E) có trục lớn bằng 8 (E) có trục nhỏ bằng \(4\sqrt{3}\) (E) có hai đường chuẩn là \(x=\pm4\) Các điểm \(M_1\left(2;-3\right);M_2\left(-2;3\right);M_3\left(-2;-3\right)\) đều thuộc (E) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết \(F_1\left(-2;0\right);F_2\left(2;0\right)\) và \(M\left(2;3\right)\) suy ra \(F_1M=\sqrt{\left(2+2\right)^2+3^2}=5;F_2M=\sqrt{\left(2-2\right)^2+3^2}=3\). Từ đó \(F_1M+F_2M=8\Rightarrow2a=8\Rightarrow a=4\). Vì \(c=2\) nên \(b^2=a^2-c^2=12,b=2\sqrt{3},2b=4\sqrt{3}\). Từ đó hai đường chuẩn có phương trình là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm8\). Khẳng định sai là: " (E) có hai đường chuẩn là \(x=\pm4\) ".
