Cho elip (E) với phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau. Độ dài trục lớn là \(2a\) Tiêu cự của (E) là \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) \(A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right),B_1\left(0;-b\right),B_2\left(0;b\right)\)là các đỉnh của (E). Hai tiêu điểm của (E) là \(F_1\left(-\sqrt{a^2-b^2};0\right),F_2\left(\sqrt{a^2-b^2};0\right)\) Hướng dẫn giải: Tiêu cự là khoảng cách hai tiêu điểm vì vậy bằng \(2c=2\sqrt{a^2-b^2}\). Khẳng định sai là " Tiêu cự của (E) là \(c=\sqrt{a^2-b^2}\)" .
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu cự bằng 16 và độ dài trục nhỏ bằng 12? \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{36}=1\) \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{36}=1\) \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{100}=1\) \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2b=12\\2c=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=6\\c=8\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(a^2=b^2+c^2=6^2+8^2=100\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M(13;0) và có \(F\left(12;0\right)\) là một tiêu điểm? \(\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{13^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{13^2}{a^2}+\dfrac{0^2}{b^2}=1\\c=12\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=13^2\\a^2-b^2=12^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=13^2\\b^2=13^2-12^2=5^2\end{matrix}\right.\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1\)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{13}\) ? \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{9^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{\left(\sqrt{13}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\sqrt{12}\right)^2}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2a=26\\\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{13}\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}a=13\\c=\dfrac{5}{13}a=5\\b^2=a^2-c^2=13^2-5=12^2\end{matrix}\right.\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1\). Chú ý: Tỉ số \(e=\dfrac{c}{a}\) (cũng là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn) còn được gọi là tâm sai của elip. Ta thấy \(\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a^2-c^2}{a^2}=1-e^2\Rightarrow\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}\) \(\left(0< e< 1\right)\). Nếu e càng gần 0 thì \(\dfrac{b}{a}\) càng gần 1, tức là \(b\approx a\), hình chữ nhật cơ sở xấp xỉ một hình vuông và elip gần như là một đường tròn.
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có \(F\left(-6;0\right)\)là một tiêu điểm và có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là \(\dfrac{2}{3}\). \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{49}=1\) \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{45}=1\) \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{15}=1\) \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{49}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}c=6\\\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=6\\a=9\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}a=9,c=6\\a^2-b^2=c^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=9\\b^2=a^2-c^2=9^2-6^2=45\end{matrix}\right.\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{45}=1\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) qua hai điểm \(M\left(4;\dfrac{9}{5}\right),N\left(3;\dfrac{12}{5}\right)\) \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{49}=1\) \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\) \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{9}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Tọa độ \(M\) và \(N\) phải thỏa mãn phương trình elip, vì vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{81}{25b^2}=1\\\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{144}{25b^2}=1\end{matrix}\right.\) Đặt \(X=\dfrac{1}{a^2},Y=\dfrac{9}{25b^2}\) thì hệ trên trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}16X+9Y=1\\9X+16Y=1\end{matrix}\right.\). Giải hệ này ta được \(X=Y=\dfrac{1}{25}\), từ đó \(a^2=25,b^2=9\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và điểm \(M\) nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông. \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{1}=1\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) \(\dfrac{5x^2}{81}+\dfrac{5y^2}{18}=1\) \(\dfrac{5x^2}{4^2}+\dfrac{35y^2}{16^2}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Giả thiết \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) thuộc (E) có nghĩa là \(\dfrac{9}{5a^2}+\dfrac{16}{5b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{9}{5\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{16}{5b^2}=1\)(1). Gọi \(F\left(c;0\right),F'\left(-c;0\right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Giả thiết M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới một góc vuông có nghĩa là tam giác FF'M vuông với cạnh huyền FF' \(\Leftrightarrow OM=OF\) (vì O là trung điểm cạnh huyền FF') \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{9}{5}+\dfrac{16}{5}}=c\Leftrightarrow c=\sqrt{5}\). Thế \(c=\sqrt{5}\) vào (1) ta được phương trình \(\dfrac{9}{b^2+5}+\dfrac{16}{b^2}=5\Leftrightarrow25b^2+16.5=5b^4+25b^2\)\(\Leftrightarrow b^2=4,a^2=b^2+5=9\) Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm \(M\left(0;3\right)\) và \(N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)\) \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{9}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{0^2}{a^2}+\dfrac{3^2}{b^2}=1\\\dfrac{3^2}{a^2}+\dfrac{\left(-\dfrac{12}{5}\right)^2}{b^2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=3^2\\\dfrac{3^2}{a^2}+\dfrac{12^2}{5^2.3^2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=3^2\\\dfrac{3^2}{a^2}=1-\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{3^2}{5^2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=3^2\\a^2=5^2\end{matrix}\right.\) . Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) và có \(F\left(-\sqrt{3};0\right)\) là một tiêu điểm? \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{16y^2}{15}=1\) \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{48y^2}{39}=1\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{32y^2}{32}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{4b^2}=1\\c=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{4b^2}=1\\a^2-b^2=c^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b^2+3}+\dfrac{3}{4b^2}=1\\a^2=b^2+3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7b^2+9=4b^4+12b^2\\a^2=b^2+3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4b^4+5b^2-9=0\\a^2=b^2+3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=1\\a^2=4\end{matrix}\right.\) Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
Xét elip \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) và các mệnh đề: (1) \(\left(E\right)\) có hai tiêu điểm \(F\left(4;0\right),F'\left(-4;0\right)\) ; (2) Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là 0,8 (3) Điểm \(A\left(-5;0\right)\) là một đỉnh của \(\left(E\right)\) ; (4) Độ dài trục nhỏ của \(\left(E\right)\) bằng 3. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? (1) và (2) (2) và (3) (3) và (1) (1) và (4) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của elip suy ra \(a^2=25;b^2=9\Rightarrow c^2=a^2-b^2=16\). Do đó \(a=5,b=3,c=4\). Vì vậy: - Hai tiêu điểm của \(\left(E\right)\) là \(F\left(4;0\right),F'\left(-4;0\right)\). Mệnh đề (1) đúng. - Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là \(\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{5}=0,8\). Mệnh đề (2) đúng. - Các đỉnh của \(\left(E\right)\) là \(A\left(-5;0\right),A'\left(5;0\right),B\left(0;-3\right),B'\left(0;3\right)\). Mệnh đề (3) đúng. - Độ dài trục nhỏ của \(\left(E\right)\) là \(2b=6\). Mệnh đề (4) sai. Từ đó, Mệnh đề (1) và (4) là mệnh dề sai.
