Xét elip \(\left(E\right):x^2+4y^2=1\) và các mệnh đề: (1) \(\left(E\right)\) có trục lớn bằng 1 ; (2) \(\left(E\right)\) có trục nhỏ bằng 4. (3) Điểm \(F\left(0;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) là một tiêu điểm của \(\left(E\right)\) ; (4) Tiêu cự của \(\left(E\right)\) bằng 3. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? (1) (2) và (4) (3) và (1) (4) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của \(\left(E\right)\) : \(x^2+4y^2=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=1\) Từ đó suy ra \(a^2=1;b^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=\dfrac{3}{4}\). Do đó \(a=1,b=\dfrac{1}{2},c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Vì vậy: - \(\left(E\right)\) có trục lớn bằng \(2a=2\); trục nhỏ bằng \(2b=1\). Do đó (1) và (2) đều sai. -Tiêu điểm của \(\left(E\right)\) là \(F\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};0\right),F'\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0\right)\) nên mệnh đề (3) đúng. - \(\left(E\right)\)có tiêu cự bằng \(2c=\sqrt{3}\) nên mệnh đề (4) đúng
Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng \(\dfrac{12}{13}\). Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu? 5 10 12 24 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(2a=26\Leftrightarrow a=13\). Tỷ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{12}{13}\Leftrightarrow\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{12^2}{13^2}\Leftrightarrow\dfrac{a^2-b^2}{a^2}=\dfrac{12^2}{13^2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{13^2-b^2}{13^2}=\dfrac{12^2}{13^2}\Leftrightarrow b^2=13^2-12^2=5^2\Leftrightarrow b=5\) Trục nhỏ của elip bằng \(2b=10\)
Cho elip (E): \(4x^2+9y^2=36\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? (E) có trục lớn bằng 6 (E) có trục nhỏ bằng 4 (E) có tiêu cự bằng \(\sqrt{5}\) (E) có tỉ số \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) Hướng dẫn giải: Vì \(4x^2+9y^2=36\Leftrightarrow\dfrac{4x^2}{36}+\dfrac{9y^2}{36}=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) suy ra \(a=3,b=2,c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\). Do đó: (E) có trục lớn bằng \(2a=6\), trục nhỏ bằng \(2b=4\), tiêu cự bằng \(2c=2\sqrt{5}\), tỉ số \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
Viết phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(A\left(-3;0\right),A'\left(3;0\right)\) và hai tiêu điểm là \(F\left(-1;0\right),F'\left(1;0\right)\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{1}=1\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1\) \(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{9}=1\) Hướng dẫn giải: Elip với phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) có các đỉnh là \(A\left(-a;0\right),A'\left(a;0\right),B\left(0;-b\right),B'\left(0;b\right)\) và hai tiêu điểm \(F\left(-c;0\right),F'\left(c;0\right)\) trong đó \(c=\sqrt{a^2-b^2}\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\\sqrt{a^2-b^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b^2=a^2-1=8\end{matrix}\right.\). Vì vậy elip đã cho có phương trình chính tắc là \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1\).
Cho elip (E) có phương trình \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? Bốn đỉnh của (E) là \(A\left(-10;0\right),A'\left(10;0\right),B\left(0;-6\right),B'\left(0;6\right)\) Hai tiêu điểm của (E) là \(F\left(-8;0\right),F'\left(8;0\right)\) (E) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho \(MF+MF'=18\) Tỷ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng 0,8 Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (E) suy ra \(a^2=100,b^2=36,c^2=64\Rightarrow a=10,b=6,c=8\). Theo định nghĩa, (E) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho \(MF+MF'=2a=20\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ? \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{49}=1\) \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\) \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{25}=1\) \(\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2b=12\\2c=16\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}b=6,c=8\\a^2=c^2+b^2=6^2+8^2=10^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=10\\b=6,c=8\end{matrix}\right.\). Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\).
Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(13;0\right)\) và có hai tiêu điểm là \(F\left(12;0\right),F'\left(-12;0\right)\) \(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{64}=1\) \(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\) \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{169}=1\) \(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{49}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{13^2}{a^2}+\dfrac{0^2}{b^2}=1\\c=12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=13^2\\12^2=a^2-b^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=13^2\\b^2=a^2-12^2=13^2-12^2=5^2\end{matrix}\right.\) Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\)
Cho elip (E) có 2 tiêu điểm \(F,F'\) và có độ dài trục lớn bằng 2a. Khẳng định nào sau đây đúng? \(2a=FF'\) \(2a>FF'\) \(2a< FF'\) \(4a=FF'\) Hướng dẫn giải: Ta có \(FF'=2c=2\sqrt{a^2-b^2}< 2\sqrt{a^2}\Rightarrow FF'< 2a\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) và có tiêu cự \(2c\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(c^2=a^2+b^2\) \(b^2=a^2+c^2\) \(a^2=c^2+b^2\) \(c=a+b\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết tiêu cự, trục lớn, trục nhỏ của elip có mối liên hệ \(c^2=a^2-b^2\), do đó \(a^2=c^2+b^2\)
Cho elip (E):\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.\) Biết rằng (E) qua \(M\left(2;3\right)\). Điểm nào sau đây không nằm trên elip (E)? \(M_1\left(-2;3\right)\) \(M_2\left(2;-3\right)\) \(M_3\left(-2;-3\right)\) \(M_4\left(3;2\right)\) Hướng dẫn giải: Khi thay \(x\) bởi \(-x\) hay thay \(y\) bởi \(-y\) , biểu thức \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\) không thay đổi. vì vậy nếu \(M\in\left(E\right)\) thì \(M_1,M_2,M_3\) cũng thuộc (E). Nếu \(M,M_4\) cùng thuộc (E) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1\\\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{13}\Rightarrow a=b=0\)\(\Rightarrow c=0\Rightarrow F\equiv F'\), Điều này trái với định nghĩa của elip.
