Cho tam giác ABC có đường cao \(BB':x+y-1=0\), đường cao \(CC':-3x+y+1=0\), cạnh \(BC:5x-y-5=0\) . VIết phương trình đường cao \(AA'\). \(5x+y+3=0\) \(5x+y-3=0\) \(x+5+3=0\) \(x+5y-3=0\) Hướng dẫn giải: Trực tâm H là giao điểm của hai đường cao BB', CC', do đó tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\-3x+y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\) Vậy \(H\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) là trực tâm tam giác ABC. Đường cao AA' là đường thẳng qua \(H\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) và vuông góc với BC: \(5x-y-5=0\) , vì vậy AA' có phương trình \(1.\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+5.\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+5y-3=0\). Đáp số: \(x+5y-3=0\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình : \(\begin{cases}x=2-t\\y=-5+3t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Điểm \(A\left(-1;4\right)\in\left(\Delta\right)\) \(\overrightarrow{b}=\left(3;-9\right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\left(\Delta\right)\) Đường thẳng \(\left(\Delta\right)\)qua điểm \(A\left(\frac{3}{2};-\frac{7}{2}\right)\) \(\left(\Delta\right)\) có phương trình tổng quát \(3x-y-1=0\) Hướng dẫn giải: Trong các khẳng định được xét có 1 khẳng định về phương trình tổng quát của \(\left(\Delta\right)\), vì vậy trước hết ta chuyển đổi phương trình tham số của \(\left(\Delta\right)\) sang dạng tộng quát. Để làm điều này, trong phương trình tham số của \(\left(\Delta\right)\), tính t theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình \(y=-5+3\left(2-x\right)\) , vì vậy \(3x+y-1=0\) là phương trình tổng quát của \(\left(\Delta\right)\). Như vậy khẳng định " \(\left(\Delta\right)\) có phương trình tổng quát \(3x-y-1=0\) " là khẳng định sai.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? Đường thẳng chứa trục Ox có phương trình y = 0 Đường thẳng chứa trục Oy có phương trình x = 0 Đường thẳng đi qua điểm \(M\left(a;b\right)\) và vuông góc với trục Ox có phương trình x = a Đường thẳng đi qua \(M\left(a;b\right)\) và song song với đường phân giác của góc \(\widehat{xOy}\) có phương trình \(\begin{cases}x=a-t\\y=b+t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\) Hướng dẫn giải: Đường phân giác góc \(\widehat{xOy}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;1\right)\) , còn đường thẳng với phương trình tham số \(\begin{cases}x=a-t\\y=b+t\end{cases}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(-1;1\right)\), hai vecto chỉ phương này không cùng phương, vì vậy đường thẳng \(\begin{cases}x=a-t\\y=b+t\end{cases}\) không song song với đường phân giác của góc \(\widehat{xOy}\). Khẳng định: "Đường thẳng đi qua \(M\left(a;b\right)\) và song song với đường phân giác của góc \(\widehat{xOy}\) có phương trình \(\begin{cases}x=a-t\\y=b+t\end{cases}\) " là khẳng định sai.
Cho đường thẳng \(\left(d\right):x-2y-7=0\). Trong các phương trình tham số sau đây, phương trình nào không phải là phương trình tham số của (d)? \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-3+t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=5-2t\\y=-1-t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=3+4t\\y=2+2t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-1-6t\\y=-4-3t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Các đường thẳng với phương trình tham số cho trong bốn phương án A, B, C, D có các vecto chỉ phương cùng phương, do đó bốn đường thẳng này hoặc cùng phương với (d), hoặc cùng không cùng phương với (d). Tuy nhiến, nếu xảy ra trường hợp sau thì cả bốn phương trình đều không phải là phương trình tham số của (d),vô lý. Vì vậy bốn đường thẳng đó đều cùng phương với (d). Bằng cách cho t = 0 trong mỗi phương trình ta nhận được một điểm của mỗi đường thẳng. Đó là các điểm \(M_1\left(1;-3\right),M_2\left(5;-1\right),M_3\left(3;2\right),M_4\left(-1;-4\right)\). Thử trực tiếp ta thấy \(M_1,M_2.M_4\in\left(d\right)\) và \(M_3\)\(\notin\left(d\right)\) . Do đó \(\begin{cases}x=3+4t\\y=2+2t\end{cases}\) không phải là phương trình tham số của (d). Cách 2: Lần lượt thế các biểu thức tính \(x,y\) (theo \(t\)) vào phương trình tổng quát của (d), nếu nhận được một đẳng thức không đúng với mọi \(t\) thì phương trình tương ứng không phải là phương trình tham số của (d).
Tìm tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng \(\left(d\right):\begin{cases}x=-2-t\\y=8+2t\end{cases}\) và \(\left(d'\right):\begin{cases}x=1-2t'\\y=2+t'\end{cases}\) M(-2;1) M(1;-2) M(2;-1) M(1;2) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của (d') dưới dạng tổng quát bằng cách khử tham số t' (chẳng hạn: nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất): \(x+2y-5=0\) (1). Thế các phương trình của (d) vào (1) ta được phương trình ẩn t xác định tọa độ giao điểm của (d) và (d'): \(\left(-2-t\right)+2\left(8+2t\right)-5=0\Leftrightarrow3t=-9\Leftrightarrow t=-3\) Thế trở lại phương trình của (d) ta được \(x=1;y=2\) là tọa độ giao điểm hai đường. Đáp số: \(M\left(1;2\right)\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d): \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) và (d'): \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t'\\y=-1-t'\end{matrix}\right.\) \(\left(2;-1\right)\) \(\left(-2;1\right)\) \(\left(-2;-1\right)\) \(\left(2;1\right)\) Hướng dẫn giải: Phương pháp: Chuyển phương trình một đường thẳng về dạng tổng quát. Thế phương trình tham số vào phương trình tổng quát ta được một phương trình bậc nhất một ẩn xác định tọa độ giao điểm. - Chuyển phương trình của (d') về dạng tổng quát: Cộng theo vế hai phương trình (để khử tham số t') ta được phương trình tổng quát của (d') là \(x+y-2=0\). - Thế phương trình tham số của (d) vào phương trình tổng quát của (d') ta được: \(\left(-2t\right)+\left(1+t\right)-2=0\Leftrightarrow t=-1\). - Thế \(t=-1\) vào phương trình của (d) ta được tọa độ giao điểm hai đường là \(\left(2;-1\right)\)
Cho hai điểm A(3;-1) và B(-2;4). Trong bốn phương trình sau, có một phương trình không phải là phương trình của đường thẳng AB. Hãy tìm phương trình đó. \(\begin{cases}x=3-5t\\y=-1+5t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-2-2t\\y=4+2t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=4+t\\y=-2-t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: Từ tọa độ của A và B suy ra \(\overrightarrow{AB}\left(-5;5\right)\), do đó đường thẳng AB có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;-1\right)\). Ta thấy đường thẳng \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+3t\end{cases}\) có vecto chỉ phương với tọa độ (3;3), các tọa độ của vecto này không tỷ lệ với các tọa độ của \(\overrightarrow{u}\left(1;-1\right)\), do dod \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+3t\end{cases}\) không phải là phương trình đường thẳng AB. Đáp số: \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+3t\end{cases}\)
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua điểm M(-3;1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(-2;5\right)\). \(5x+2y-13=0\) \(2x+5y-13=0\) \(2x+5y+13=0\) \(5x+2y+13=0\) Hướng dẫn giải: (d) qua M(-3;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(-2;5\right)\) nên vectơ pháp tuyến của (d) là \(\overrightarrow{n}\left(5;2\right)\) Phương trình tổng quát của (d) là \(5\left(x+3\right)+2\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow5x+2x+13=0\) Đáp số: \(5x+2y+13=0\)
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua A(2;1) và có hệ số góc k = -2. \(y=2\left(x+2\right)+1\) \(y=-2x+5\) \(y=2x-3\) \(y=-2x+3\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng qua A(2;1) với hệ số góc k = -2 có phương trình \(y=-2\left(x-2\right)+1\Leftrightarrow y=-2x+5\) \({}\). Vậy phương trình tổng quát của \(\left(\Delta\right)\) là: \({}\)\(y=-2x+5\)
Cho (d) là đường thẳng đi qua điểm M(5;-1) và song song với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) : 3x+2y-1=0. Trong các phương trình cho sau đây, phương trình nào không phải là phương trình tham số của (d)? \(\begin{cases}x=5+2t\\y=-1+3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=5-2t\\y=-1+3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=3-4t\\y=2+6t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1+2t\\y=5-3t\end{cases}\) Hướng dẫn giải: \(\Delta\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(3;2\right)\) và vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-2;3\right)\). Xét các đường thẳng với phương trình tham số cho trong các phương án trả lời: - Đường thẳng \(\begin{cases}x=5+2t\\y=-1+3t\end{cases}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u'}\left(2;3\right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\left(-2;3\right)\) nên đường thẳng \(\begin{cases}x=5+2t\\y=-1+3t\end{cases}\) không song song với \(\Delta\) Đáp số: \(\begin{cases}x=5+2t\\y=-1+3t\end{cases}\)
