Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(-2;12\right)\) và có \(F\left(-7;0\right)\) là một tiêu điểm? \(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{16y^2}{15}=1\) \(\dfrac{x^2}{196}+\dfrac{y^2}{147}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{165y^2}{156^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{32y^2}{32}=1\) Hướng dẫn giải: (E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{144}{b^2}=1\\c=7\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{144}{b^2}=1\\a^2-b^2=c^2=49\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{b^2+49}+\dfrac{144}{b^2}=1\\a^2=b^2+49\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}148b^2+49.144=b^4+49b^2\\a^2=b^2+3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^4-99b^2-49.144=0\\a^2=b^2+49\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=147\\a^2=196\end{matrix}\right.\) Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{196}+\dfrac{y^2}{147}=1\)
Cho tam giác ABC có A(2;6); B (-3;-4) ; C (5; 0). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác . (0; 5) (5; 0) (0; -5) (-5; 0) Hướng dẫn giải: Từ tọa độ A, B, C đã cho ta tính được \(\overrightarrow{AC}=\left(3;-6\right),\overrightarrow{BC}=\left(8;4\right)\) , từ đó \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=3.8-6.4=0\), suy ra tam giác có AC vuông góc với BC, tam giác vuông ở C, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông của tam giác. Vì vậy trực tâm có tọa độ là (5;0). Đáp số: (5;0)
Cho tam giác ABC có A(2;6); B(-3;-4); C(5;0). Tìm tọa độ chân của đường phân giác trong góc C . \(D\left(\frac{1}{7};-\frac{12}{7}\right)\) \(D\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{12}{7}\right)\) \(D\left(\frac{12}{7};-\frac{1}{7}\right)\) \(D\left(-\frac{12}{7};\frac{1}{7}\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi D là chân đường phân giác trong góc C của tam giác thì D chia trong đoạn BC theo tỉ số độ dài hai cạnh của góc C, do đó \(\overrightarrow{AD}=-\dfrac{\left|\overrightarrow{CA}\right|}{\left|\overrightarrow{CB}\right|}.\overrightarrow{BD}\). Từ tọa độ đã cho của các đỉnh A, B, C ta có \(\overrightarrow{CA}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{CB}=\left(-8;-4\right),\left|\overrightarrow{CA}\right|=3\sqrt{5},\left|\overrightarrow{CB}\right|=4\sqrt{5}\), do đó tọa độ D là nghiệm của phương trình \(\left(x-2;y-6\right)=-\dfrac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}.\left(x+3;y+4\right)\)\(\Leftrightarrow4.\left(x-2;y-6\right)=-3.\left(x+3;y+4\right)\)\(\Leftrightarrow\left(4x-8;4y-24\right)=\left(-3x-9;-3y-12\right)\) Từ đó, chân đường phân giác trong của góc C có tọa độ là \(\left(-\dfrac{1}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\) Đáp số: \(\left(-\dfrac{1}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\)
Cho đường thẳng ABC có hai cạnh \(AB:4x+y+15=0;AC:2x+5y+3=0\), trọng tâm G (-2;-1). Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC . (-1;-2) (1;-2) (-2;1) (2;-1) Hướng dẫn giải: A có tọa độ là nghiệm của hệ \(\)\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+15=0\\2x+5y+3=0\end{matrix}\right.\). Từ đó \(A\left(-4;1\right)\). Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác ta có \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\) . Vì vậy M có tọa độ là nghiệm của phương trình \(\left(x+4;y-1\right)=\dfrac{3}{2}.\left(2;-2\right)=\left(3;-3\right)\). Từ đó M có tọa độ \(\left(-1;-2\right)\). Đáp số: \(\left(-1;-2\right)\)
Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), đường cao BB':\(5x+3y-25=0\), đường cao CC': \(3x+8y-12=0\). Tìm tọa độ đỉnh B. (2;5) (5;-2) (2;-5) (5;2) Hướng dẫn giải: CC' có vecto pháp tuyến với tọa độ (3;8) nên đường thẳng AB qua A(-1;-3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(3;8\right)\), phương trình tham số của đường thẳng AB là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+8t\end{matrix}\right.\) . Vì \(B=BB'\cap BA\) nên tọa độ B là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+8t\\5x+3y-25=0\end{matrix}\right.\) . Giải hệ này bằng cách thế haqi phương trình đầu vào phương trình cuối ta được \(5\left(-1+3t\right)+3\left(-3+8t\right)-25=0\)\(\Leftrightarrow39t-39=0\Leftrightarrow t=1\) Từ đó \(\left(x=2;y=5\right)\) là tọa độ đỉnh B. Đáp số: (2;5)
Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), đường cao \(BB':5x+3y-25=0\), đường cao \(CC':3x+8y-12=0\). Tìm tọa độ đỉnh C. (0;4) (0;-4) (4;0) (-4;0) Hướng dẫn giải: Vecto pháp tuyến của đường cao BB' cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng AC. Vì vậy đường thẳng AC qua A(-1;-3), với vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(5;3\right)\) và có phương trình là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+5t\\y=-3+3t\end{matrix}\right.\). Vì C là giao điểm của đường cao CC' với cạnh AC nên thế phương trình của AC vào phương trình CC' ta được phương trình xác định tọa độ C là \(3\left(-1+5t\right)+8\left(-3+3t\right)-12=0\) \(\Leftrightarrow39t-39=0\Leftrightarrow t=1\), do đó \(C\left(4;0\right)\). Đáp số: (4;0)
Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết đỉnh A(-1;-3), trọng tâm G(4;2), đường trung trực của cạnh AB có phương trình \(3x+2y-4=0\). (8;4) (4;8) (-4;8) (8;8) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AB qua điểm \(A\left(-1;-3\right)\) và vuông góc với đường thẳng \(3x+2y-4=0\) nên AB có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\). Trung điểm M của cạnh AB là giao điểm của AB với đường trung trực đã cho nên M có tọa độ thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\). Thế hai phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: \(3\left(-1+3t\right)+2\left(-3+2t\right)-4=0\)\(\Leftrightarrow13t-13=0\Leftrightarrow t=1\). Từ đó \(M\left(2;-1\right)\). Vì \(\overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MG}\) nên C có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left(x-2;y+1\right)=3.\left(2;3\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x=8;y=8\right)\).Đáp số: (8;8)
Cho tam giác ABC có A(-1;3), đường cao BB' : \(x-y=0\); đường phân giác trong góc C : \(x+3y+2=0\). Hãy viết phương trình đường thẳng BC. \(x+7y-18=0\) \(x-7y+18=0\) \(x+7y+18=0\) \(x-7y-18=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AC vuông góc với đường cao BB': \(x-y=0\) nên AC có phương trình dạng \(x+y+\alpha=0\). Tọa độ \(A\left(-1;3\right)\) phải thỏa mãn phương trình này nên \(-1+3+\alpha=0\Rightarrow\alpha=-2\). Do đó AC: \(x+y-2=0\). Đỉnh C là giao điểm của AC với đường phân giác trong góc C nên C có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x+3y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-2\end{matrix}\right.\). Do đó \(C\left(4;-2\right)\). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc C thì A' thuộc đường thẳng CB, do đó đường thẳng BC chính là đường thẳng qua C và A'. Vì AA' qua \(A\left(-1;3\right)\), vuông góc với phân giác \(x+3y+2=0\) nên AA' có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=3+3t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình \(x+3y+2=0\)ta được \(\left(-1+t\right)+3\left(3+3t\right)+2=0\Leftrightarrow t=-1\), do đó hình chiếu vuông góc của A xuống phân giác trong góc C là \(H\left(-2;0\right)\). Tọa độ A' thảo mãn phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+x_A}{2}=x_H\\\dfrac{y+y_A}{2}=y_H\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=-2\\\dfrac{y+3}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x=-3;y=-3\right)\) Do đó đường thẳng BC qua \(C\left(4;-2\right)\) và \(A'\left(-3;-3\right)\) , vecto chỉ phương \(\overrightarrow{Á'C}\left(7;1\right)\), vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;-7\right)\) và phương trình tổng quát là \(1.\left(x+3\right)-7.\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-7y-18=0\)
Cho tam giác ABC với ba đỉnh \(A\left(-5;6\right);B\left(-4;-1\right);C\left(4;-3\right)\) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A . \(x+2y-4=0\) \(2x-y+4=0\) \(2x+y+4=0\) \(x-2y-4=0\) Hướng dẫn giải: Đường phân giác trong của góc A phải đi qua điểm \(A\left(-5;6\right)\). Thử trực tiếp, dễ thấy điểm \(A\left(-5;6\right)\) không nằm trên các đường thẳng \(x+2y-4=0\) , \(2x-y+4=0\), \(x-2y-4=0\). Do đó, đáp số đúng chỉ có thể là \(2x+y+4=0\). Có thể kiểm tra được rằng \(2x+y+4=0\) là đáp số đúng như sau (trong phòng thi hs không cần làm điều này): Từ các tọa độ đã cho của A, B, C, ta tính được \(AB=\sqrt[]{1^2+7^2}=5\sqrt{2};AC=\sqrt{9^2+9^2}=9\sqrt{2};\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{9}\). Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: chân D của đường phân giác trong chia trong cạnh tam giác theo tỷ số hai cạnh kề của góc, như vậy \(\overrightarrow{BD}=-\dfrac{CA}{BA}.\overrightarrow{CD}\) . Do đó D có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left(x+4;y+1\right)=-\dfrac{5}{9}.\left(x-4;y+3\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x+36;9y+9\right)=\left(-5x+20;-5y-15\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x=-\dfrac{8}{7};y=-\dfrac{12}{7}\right)\). Vậy \(D\left(-\dfrac{8}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\). Đường phân giác trong của góc A chính là đường thẳng qua \(A\left(-5;6\right)\) và \(D\left(-\dfrac{8}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\). Vecto chỉ phương của đường thẳng này là \(\overrightarrow{AD}\left(\dfrac{27}{7};-\dfrac{54}{7}\right)=\dfrac{27}{7}.\left(1;-2\right)\), đường phân giác góc A đi qua \(A\left(-5;6\right)\) , có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;1\right)\) và có phương trình \(2\left(x+5\right)+1.\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y+4=0\) Đáp số: \(2x+y+4=0\)
Cho \(A\left(2;2\right);B\left(5;1\right)\) và đường thẳng \(\left(\Delta\right):x-2y+8=0\). Tìm tọa độ điểm \(C\in\left(\Delta\right)\), C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 đơn vị diện tích. \(C\left(10;12\right)\) \(C\left(12;10\right)\) \(C\left(8;8\right)\) \(C\left(10;8\right)\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AB qua điểm \(A\left(2;2\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(3;-1\right)\), vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;3\right)\) nên có phương trình \(1\left(x-2\right)+3.\left(y-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+3y-8=0\). Viết lại phương trình \(\left(\Delta\right)\) dưới dạng tham số : \(\left\{{}\begin{matrix}x=-8+2t\\y=t\end{matrix}\right.\). Xét điểm \(C\left(-8+2t;t\right)\in\left(\Delta\right)\) . Điều kiện C có hoành độ dương: \(-8+2t>0\Leftrightarrow t>4\). Khoảng cách từ C tới đường thẳng AB là \(h=\dfrac{\left|\left(-8+2t\right)+3t-8\right|}{\sqrt{10}}\) . Tam giác CAB có diện tích \(S=\dfrac{1}{2}.\left|\overrightarrow{AB}\right|.h=\dfrac{1}{2}.\sqrt{10}.\dfrac{\left|5t-16\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|5t-16\right|}{2}\). Tam giác ABC sẽ có diện tích bằng 17 khi \(\left|5t-16\right|=34\Leftrightarrow\)\(t=10;t=-\dfrac{18}{5}\). Đối chiếu điều kiện \(t>4\) ta được \(t=10\) và \(C\left(12;10\right)\)
