Cho hai đường thẳng \(\left(d_1\right):x-3y+3=0\) , \(\left(d_2\right):3x-y-1=0\) . Tìm trên tia \(Ox\) điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng đã cho. \(M\left(\frac{1}{2};0\right)\) \(M\left(1;0\right)\) \(M\left(2;0\right)\) \(M\left(3;0\right)\) Hướng dẫn giải: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng đã cho là hai đường phân giác của góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó và có phương trình là \(\dfrac{x-3y+3}{\sqrt{10}}=\dfrac{\pm\left(3x-y-1\right)}{\sqrt{10}}\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-2=0\\2x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) (1) Tập hợp các điểm thuộc tia \(Ox\) có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x>0\end{matrix}\right.\) (2) . Như vậy các điểm \(M\) cần tìm có tọa độ thỏa mãn (1) và (2). Từ đó \(M\left(2;0\right)\)
Trong các bộ ba đường thẳng sau đây , bộ ba đường thẳng nào đồng quy? \((d_1):x+2y+3=0,\left(d_2\right):2x-y+1=0;\left(d_3\right):3x-y-4=0\) \((d_1):x-2y-4=0,\left(d_2\right):5x+3y-7=0;\left(d_3\right):3x-y-7=0\) \((d_1):3x-y-3=0,\left(d_2\right):2x+3y-2=0;\left(d_3\right):5x-4y-5=0\) \((d_1):4x+2y+1=0,\left(d_2\right):2x+3y-7=0;\left(d_3\right):5x-2y+3=0\) Hướng dẫn giải: Với mỗi bộ ba đường thẳng đã cho, tìm giao điểm của \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) bằng cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi xét xem giao điểm có thuộc \(\left(d_3\right)\) hay không ta tìm được đáp số là: \((d_1):x-2y-4=0,\left(d_2\right):5x+3y-7=0;\left(d_3\right):3x-y-7=0\)
Hai cạnh của một hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng \(\left(d_1\right):4x-3y+5=0\) và \(\left(d_2\right):3x+4y-5=0\). Tính diện tích hình chữ nhật nếu biết A(2;1) là một đỉnh của nó. 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: Tọa độ của A không thỏa mãn phương trình hai đường thẳng đã cho, suy ra A không thuộc \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\). Từ đó các kích thước của hình chữ nhật chính là khoảng cách từ A tới 2 đường thẳng này: \(a=d\left(A,\left(d_1\right)\right)=\dfrac{\left|4.2-3.1+5\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=2\) và \(b=d\left(A,\left(d_2\right)\right)=\dfrac{\left|3.2+4.1-5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\). Vì vậy hình chữ nhật đã cho có diện tích \(S=ab=2.1=2\)
Cho tam giác ABC có các \(A\left(-6;-3\right);B\left(-4;3\right);C\left(9;2\right)\). Viết phương trình đường phân giác của góc ngoài của góc A. \(x+y-9=0\) \(x+y+9=0\) \(x+y-5=0\) \(x+y+5=0\) Hướng dẫn giải: Goi E là chân đường phân giác ngoài của góc A thì E chia (ngoài ) đoạn BC theo tỷ số \(\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{\left(-2\right)^2+6^2}}{\sqrt{15^2+5^2}}=\dfrac{2}{5}\). Do đó \(\overrightarrow{EB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{EC}\) và tọa độ điểm E thỏa mãn phương trình sau \(\left(-4-x;3-y\right)=\dfrac{2}{5}.\left(9-x;2-y\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-20-5x=18-2x\\15-5y=4-2y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{38}{3}\\y=\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\) .Vậy chân đường phân giác ngoài của góc A là điểm \(E\left(-\dfrac{38}{3};\dfrac{11}{3}\right)\) . Đường phân giác ngoài của góc A cũng là đường thẳng qua \(A\left(-6;-3\right)\) và điểm \(E\left(-\dfrac{38}{3};\dfrac{11}{3}\right)\) nên có phương trình \(\dfrac{x+6}{-\dfrac{38}{3}+6}=\dfrac{y+3}{\dfrac{11}{3}+3}\) hay \(x+y+9=0\) Đáp số: \(x+y+9=0\)
Cho tam giác ABC có đỉnh A(3;2); đường cao BB' có phương trình \(x-y+2=0\); đường trung tuyến xuất phát từ B có phương trình \(2x-y+8=0\). Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác. \(C\left(10;5\right)\) \(C\left(-10;5\right)\) \(C\left(-5;10\right)\) \(C\left(10;-5\right)\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng AC qua \(A\left(3;2\right)\) và vuông góc với đường cao BB': \(x-y+2=0\) nên AC có phương trình \(1.\left(x-3\right)+1.\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-5=0\). Gọi M là giao điểm của đường thẳng chứa cạnh AC và đường trung tuyến kẻ qua đỉnh B: \(2x-y+8=0\) thì M là trung điểm của cạnh AC và tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-5=0\\2x-y+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=6\end{matrix}\right.\) . Vậy \(M\left(-1;6\right)\). Vì \(M\left(-1;6\right)\) là trung điểm của cạnh AC với đỉnh \(A\left(3;2\right)\) nên đỉnh C có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+3}{2}=-1\\\dfrac{y+2}{2}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=10\end{matrix}\right.\) . Vậy \(C\left(-5;10\right)\). Đáp số: \(C\left(-5;10\right)\).
Cho đường thẳng ABC có đỉnh C(-2;-4) , trọng tâm G(0;4), trung điểm của cạnh BC là M(2;0). Tìm tọa độ các đỉnh A và B của tam giác. \(A\left(4;-12\right);B\left(-6;4\right)\) \(A\left(-4;-12\right);B\left(6;4\right)\) \(A\left(4;12\right);B\left(4;6\right)\) \(A\left(-4;12\right);B\left(6;4\right)\) Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác ta có \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) nên tọa độ đỉnh A là nghiệm của phương trình \(\left(x-2;y\right)=3.\left(-2;4\right)\Leftrightarrow\left(x-2;y\right)=\left(-6;12\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=12\end{matrix}\right.\) . Vậy \(A\left(-4;12\right)\). Tam giác ABC có trọng tâm \(G\left(0;4\right)\), đỉnh \(A\left(-4;12\right)\) , đỉnh \(C\left(-2;-4\right)\) nên tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-4-2}{3}=0\\\dfrac{y+12-4}{3}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\) . Vậy \(B\left(6;4\right)\) Đáp số: \(A\left(-4;12\right)\), \(B\left(6;4\right)\).
Cho tam giác ABC có A(1;1), đường cao BB' : \(-2x+y-8=0\), đường cao CC' : \(2x+3y-8=0\). Viết phương trình đường cao AA' . \(x-y+2=0\) \(x+y+2=0\) \(x-y-2=0\) \(x+y-2=0\) Hướng dẫn giải: Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm hai đường cao BB', CC' , do đó H có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{\begin{matrix}-2x+y-8=0\\2x+3y-8=0\end{matrix}\right.\) . Vậy H(-2;4). Đường cao AA' qua A(1;1) và H(-2;4) nên AA' có vec tơ chỉ phương và vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{AH}\left(-3;3\right),\overrightarrow{n}\left(1;1\right)\), do đó AA' có phương trình 1.(x-1) + 1.(y - 1) = 0 hay x + y - 2 = 0. Vậy D là đáp án đúng.
Cho tam giác ABC có cạnh \(AB:4x+y+15=0\), cạnh \(AC:2x+5y+3=0\),trọng tâm \(G\left(-2;-1\right)\). Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC. M(2; -1) M(-1; -2) M(1; -2) M( -2; 1) Hướng dẫn giải: Vì \(A=AB\cap AC\) nên tọa độ A là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+15=0\\2x+5y+3=0\end{matrix}\right.\) . Giải hệ này được nghiệm \(\left(x=-4;y=1\right)\) suy ra \(A\left(-4;1\right)\). Vì M là trung điểm của cạnh BC thì \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\). Theo giả thiết \(G\left(-2;-1\right)\) nên \(\overrightarrow{AG}=\left(-2;-2\right)\) , do đó tọa độ của M là nghiệm của \(\left(x+4;y-1\right)=\dfrac{3}{2}\left(2;-2\right)=\left(3;-3\right)\) . Giải ra ta được \(\left(x=-1;y=-2\right)\). Đáp số: M(-1;-2)
Cho ba đường thẳng \(\left(d\right):2x-y+3=0\) ; \(\left(d'\right):x+2y-1=0\) ; \(\left(\Delta\right):3x+4y+1=0\) Đường thẳng đi qua giao điểm A của (d) và (d'), song song với \(\left(\Delta\right)\) có phương trình : \(3x+4y-1=0\) \(3x+4y-5=0\) \(3x+4y+7=0\) \(3x+4y-7=0\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Tìm giao điểm (d) và (d') ta được A(-1;1). Đường thẳng song song với \(\left(\Delta\right):3x+4y+1=0\) có phương trình dạng \(3x+4y+c=0\). Đường thẳng này qua A(-1;1) khi và chỉ khi \(3.\left(-1\right)+4.1+c=0\Leftrightarrow c=-1\) Đáp số: \(3x+4y-1=0\) Cách 2 (chùm đường thẳng)Đường thẳng phải tìm thuộc chùm đường thẳng xác định bởi (d) và (d') nên có dạng : \(\left(2x-y+3\right)+m\left(x+2y-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+\left(2m-1\right)y+3-m=0\) (*) Đường thẳng này song song với \(\left(\Delta\right)\) nên : \(\frac{m+2}{3}=\frac{2m-1}{4}\Leftrightarrow m=\frac{11}{2}\) Thế vào (*) : \(\left(\frac{11}{2}+2\right)x+\left(2.\frac{11}{2}-1\right)y+3-\frac{11}{2}=0\) \(\Leftrightarrow15x+20y-5=0\) \(\Leftrightarrow3x+4y-1=0\) Vậy chọn (A)
Hai cạnh của một hình chữ nhật có phương trình \(3x-4y+5=0\) và \(4x+3y-12=0\). Một đỉnh có tọa độ (3;-2). Viết phương trình của hai cạnh còn lại. \(4x+3y+6=0;3x-4y-15=0\) \(4x+3y-6=0;3x-4y-17=0\) \(4x+3y-5=0;3x-4y+17=0\) \(4x+3y-7=0;3x+4y-12=0\) Hướng dẫn giải: Đỉnh có tọa độ (3; -2) không thuộc cả 2 cạnh đã cho. Vậy hai cạnh còn lại đều qua (3; -2). Phương trình hai cạnh còn lại (song song với hai cạnh đã cho) có phương trình dạng : \(4x+3y+C_1=0\) qua (3; -2) \(\Rightarrow C_1=-6\) \(3x-4y+C_2=0\) qua (3; -2) \(\Rightarrow C_2=-17\) Hai cạnh còn lại có phương trình : \(4x+3y-6=0\) và \(3x-4y-17=0\) Đáp số: \(4x+3y-6=0\) và \(3x-4y-17=0\)
