Cho A(2;1); B(3;-2). Tập hợp các điểm \(M\left(x;y\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2=30\) là một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đó \(x^2+y^2-10x-2y-12=0\) \(x^2+y^2-5x+y-6=0\) \(x^2+y^2+5x-y-6=0\) \(x^2+y^2-5x+y+6=0\) Hướng dẫn giải: Với \(M\left(x;y\right)\) đã cho tùy ý thì \(MA^2+MB^2=30\Leftrightarrow\left(2-x\right)^2+\left(1-y\right)^2+\left(3-x\right)^2+\left(-2-y\right)^2=30\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2-5x+y-6=0\Leftrightarrow\)\(\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=4^2\). Đáp số: \(x^2+y^2-5x+y-6=0\)
Cho đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2+2x-4y=0\) và đường thẳng \(\left(d\right):4x+3y-5=0\). Viết phương trình các đường thẳng song song với (d) và chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 4. \(4x+3y-3=0\) và \(4x+3y+7=0\) \(4x+3y+3=0\) và \(4x+3y-7=0\) \(4x+3y-3=0\) và \(4x+3y-7=0\) \(4x+3y+3=0\) và \(4x+3y+7=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(C\right):x^2+y^2+2x-4y=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5\) có tâm \(I\left(-1;2\right)\) , bán kính \(R=\sqrt{5}\). Các đường thẳng (d') song song với (d) có phương trình dạng \(4x+3y+c=0\) với \(c\ne-5\). Tâm I cách (d') một khoảng bằng \(h=\dfrac{\left|4.\left(-1\right)+3.2+c\right|}{5}=\dfrac{\left|c+2\right|}{5}\). Gọi M là trung điểm dây AB thì AMI là tam giác vuông tại M có \(AM=\dfrac{AB}{2}=2\), \(IM=h;AI=R=\sqrt{5}\). Theo Pitagor ta có \(h^2+AM^2=R^2\Leftrightarrow\dfrac{\left(c+2\right)^2}{25}+4=5\Leftrightarrow\)\(\left(c+2\right)^2=25\Leftrightarrow\left|c+2\right|=5\Leftrightarrow c=3;c=-7\). Đáp số: \(4x+3y+3=0=0\) và \(4x+3y-7=0\)
Cho hai điểm A(2;1) và B(-3;5). Tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn điều kiện \(3MA^2-2MB^2=25\) là một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đó. \(x^2+y^2-24x-14y-78=0\) \(x^2+y^2-24x+14y-78=0\) \(x^2+y^2+24x-14y-78=0\) \(x^2+y^2+24x+14y-78=0\) Hướng dẫn giải: Xét điểm \(M\left(x;y\right)\). Điều kiện \(3MA^2-2MB^2=25\Leftrightarrow3\left(2-x\right)^2-2\left(1-y\right)^2=25\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2-24x+14y-78=0\Leftrightarrow\left(x-12\right)^2+\left(y+7\right)^2=271\). Đáp số: \(x^2+y^2-24x+14y-78=0\)
Trong 4 hình vẽ sau đây, hãy chọn hình vẽ biểu diễn cho đường có phương trình : \(y=\sqrt{4x-x^2}-1\) Hướng dẫn giải: Ta có \(y=\sqrt{4x-x^2}-1\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}=y+1\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}y+1\ge0\\4-\left(x-2\right)^2=\left(y+1\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge-1\\\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\) Vì vậy đường cong đã cho là nửa phía trên đường thẳng \(y=-1\)của đường tròn tâm I(2;-1) bán kính 2.
Trong bốn hình vẽ sau đây, hình vẽ nào biểu diễn đường cong có phương trình \(x=-1+\sqrt{6y-y^2}\) : Hướng dẫn giải: Biến đổi \(x=-1+\sqrt{6y-y^2}\Leftrightarrow\sqrt{6y-y^2}=x+1\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\6y-y^2=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=9\end{matrix}\right.\) Vì vậy đường cong có phương trình đã cho là tập hợp các điểm với hoành độ \(x\ge-1\)thuộc đường tròn tâm I (-1;3) bán kính 3. Hình biểu diễn đường cong đó là
Trong họ đường tròn \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m+2\right)y+6m+7=0\), hãy xác định đường tròn tiếp xúc với trục Oy. \(x^2+y^2-8x-10y+25=0\) \(x^2+y^2-8x+10y+25=0\) \(x^2+y^2+8x-10y+25=0\) \(x^2+y^2+8x+10y+25=0\) Hướng dẫn giải: Xác định tâm, bán kính của đường tròn \(\left(C_m\right)\) và khoảng cách từ tâm đường tròn tới Oy: \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m+2\right)y+6m+7=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\left(m+1\right)\right)^2+\left(y-\left(m+2\right)\right)^2=2\left(m^2-1\right)\), Với \(\left|m\right|>1\), đường tròn đã cho có tâm \(I\left(m+1;m+2\right)\), bán kính \(R=\sqrt{2\left(m^2-1\right)}\) . Khoảng cách từ I tới đường thẳng \(x=0\) (trục Oy) là \(\left|m+1\right|\). Đường tròn sẽ tiếp xúc với Oy khi và chỉ khi \(\sqrt{2\left(m^2-1\right)}=\left|m+1\right|\Leftrightarrow2\left(m^2-1\right)=\left(m+1\right)^2\)\(\Leftrightarrow\)\(m=-1\)(loại); \(m=3\). Với \(m=3,\) đường tròn là \(x^2+y^2-8x-10y+25=0\). Đáp số: \(x^2+y^2-8x-10y+25=0\)
Một elip (E) có mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc vuông. Tìm tâm sai của (E) \(e=\frac{1}{2}\) \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(e=\frac{1}{3}\) \(e=\frac{1}{\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải: Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), hai đỉnh trên trục nhỏ là \(B_1\left(0;-b\right),B_2\left(0;b\right)\), hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)\) Từ giả thiết suy ra tam giác \(B_1F_1F_2\) là tam giác vuông ở \(B_1\) nên \(\overrightarrow{F_1B_1}.\overrightarrow{F_2.B_1}=0\Leftrightarrow-c^2+b^2=0\)\(\Leftrightarrow c^2=b^2\). Mà \(a^2=b^2+c^2=c^2+c^2=2c^2\Rightarrow\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Đáp số: \(e=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).
Cho elip (E) : \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) và điểm \(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\). Biểu thức \(F_1M.F_2M+OM^2\) (với \(F_1,F_2\) là hai tiêu điểm của (E)) có giá trị không đổi,hãy tính giá trị này. 7 25 9 16 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(a^2=16,b^2=9\Rightarrow c^2=7\). Nếu \(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\) thì \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\) Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: \(F_1M=4+\dfrac{\sqrt{7}}{4}x,F_2M=4-\dfrac{\sqrt{7}}{4}x\), \(OM^2=x^2+y^2\)\(=x^2+9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\), do đó \(F_1M.F_2M+OM^2=\left(16-\dfrac{7}{16}x^2\right)+x^2+9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)=25\). Đáp số: 25.
Cho elip (E) : \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) và điểm \(M\left(1;1\right)\). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. \(9x+4y+13=0\) \(9x-4y+13=0\) \(4x+9y-13=0\) \(4x-9y+13=0\) Hướng dẫn giải: - Nếu (d) không song song với Oy thì (d) có hệ số góc. Gọi k là hệ số góc của (d) thì nó có phương trình \(y=k\left(x-1\right)+1\). Thé vào phương trình của (E) ta được phương trình xác định hoành độ các giao điểm A, B của (d) với (E) là: \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{\left(k\left(x-1\right)+1\right)^2}{4}=1\)\(\Leftrightarrow4x^2+9\left(kx+1-k\right)^2-36=0\) \(\Leftrightarrow\left(4+9k^2\right)x^2+18k\left(1-k\right)x+9\left(1-k\right)^2-36=0\)(1) (d) sẽ cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho M(1;1) là trung điểm AB khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) sao cho \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(-\dfrac{9k\left(1-k\right)}{4+9k^2}=1\)\(\Leftrightarrow-9k=4\Leftrightarrow k=-\dfrac{4}{9}\). Đáp số: \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x-1\right)+1\)\(\Leftrightarrow4x+9y-13=0\).
Elip (E) : \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\) cắt đường thẳng (d) : \(x-2y+4=0\) tại hai điểm A và B. Tìm tọa độ của hai điểm đó, \(\left(3;2\right),\left(0;4\right)\) \(\left(2;3\right),\left(4;0\right)\) \(\left(2;-3\right),\left(-4;0\right)\) \(A\left(2;3\right);B\left(-4;0\right)\) Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm hai đường là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\\x-2y+4=0\end{matrix}\right.\). Khử \(x\)từ hệ này ta được \(\dfrac{\left(2y-4\right)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\Leftrightarrow4y^2-12y=0\Leftrightarrow y=0;y=3\). Từ đó hai giao điểm là \(\left(2;3\right)\) và \(\left(-4;0\right)\). Đáp số: \(\left(2;3\right)\) và \(\left(-4;0\right)\) .
