Cho elip (E) : \(25x^2+36y^2=900\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? (E) có tiêu điểm bên phải \(F_2\left(11;0\right)\) (E) có độ dài trục lớn bằng 12 Hình chữ nhật cơ sở của (E) có diện tích bằng 120 đơn vị diện tích (E) có tiêu cự bằng \(\sqrt{44}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của (E) thành \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}=1\). Từ đó \(a=6,b=5\), trục lớn \(2a=12\), trục nhỏ \(2b=10\); Hình chữ nhật cơ sở có diện tích \(2a.2b=120\); \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\); Tiêu cự \(2c=2\sqrt{11}=\sqrt{44}\). Tiêu điểm bên phải là \(F_2\left(\sqrt{11};0\right)\). Khẳng định sai là: "Tiêu điểm bên phải là \(F_2\left(11;0\right)\) "
Một elip (E) có mỗi đỉnh trên trục nhỏ đều nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc bằng \(120^0\). Tìm tâm sai của elip này . \(e=\frac{1}{2}\) \(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(e=\frac{2\sqrt{2}}{4}\) Hướng dẫn giải: Theo giả thiết \(\widehat{F_1BF_2=120^0}\) suy ra \(\widehat{F_1B_2O}=60^0\). Nếu \(OF_1=c\) thì \(OB_2=\)\(b=c.\cot30^0=\dfrac{c}{\sqrt{3}}\); \(a^2=b^2+c^2=\dfrac{c^2}{3}+c^2\Rightarrow\)\(\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Đáp số: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Tìm tâm sai của elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(2a=3.\left(2b\right)\Leftrightarrow a=3b\). Do đó \(c^2=a^2-b^2=9b^2-b^2=8b^2\Rightarrow c=2b\sqrt{2}\). \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2b\sqrt{2}}{3b}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\). Đáp số: \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).
Một elip (E) có khoảng cách giữa hai đỉnh tiếp nhau dài bằng gấp 1.5 lần tiêu cự của nó. Tính tâm sai elip. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{\sqrt{3}}{5}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) Hãy chọn kết luận đúng ? Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có \(AB'=1,5.\left(2c\right)=3c\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2=3c}\Leftrightarrow a^2+b^2=9c^2\). Kết hợp với \(a^2+b^2=c^2\) suy ra \(2a^2=10c^2\) \(\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\). Đáp số: \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Đường thẳng (d) : \(x+2y-7=0\) cắt elip (E) : \(x^2+4y^2=25\) theo một dây cung AB. Tính độ dài của dây cung đó \(\frac{2}{\sqrt{5}}\) \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) Hướng dẫn giải: A, B có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\x^2+4y^2=25\end{matrix}\right.\). Thế \(x=7-2y\) từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai ta được \(8y^2-28y+24=0\) được \(y=2;y=\dfrac{3}{2}\) Hai giao điểm là \(A\left(4;\dfrac{3}{2}\right),B\left(3;2\right)\). Độ dài dây AB là \(\sqrt{\left(4-3\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}-2\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\). Đáp số: \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
Cho hai điểm A(1;1) và B(2;3). Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(3MA^2-2MB^2=6\) . Đường thẳng \(y=x\). Trục hoành. Trục tung. Đường tròn tâm I(-1;-3) , bán kính 6. Hướng dẫn giải: Giả sử \(\left(x;y\right)\) là tọa độ của điểm M. Ta có \(MA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2;MB^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2\) . Điều kiện cho trong đề bài là \(3\left(x-1\right)^2+3\left(y-1\right)^2-2\left(x-2\right)^2-2\left(y-3\right)^2=6\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+2x+6y-20=6\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=6^2\)
