Viết phương trình đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) đi qua điểm B(-2;4) và vuông góc với đường thẳng (d): \(4x-y+5=0\). \(x+4y+14=0\) \(x+4y-14=0\) \(x+4y+16=0\) \(x+4y-16=0\) Hướng dẫn giải: (d) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(4;-1\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;4\right)\). Đường thẳng \(\Delta\) qua B(-2;4) và vuông góc với (d) nên \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{u}\left(1;4\right)\) làm vecto pháp tuyến. Do đó \(\Delta\) có phương trình tổng quát \(1.\left(x+2\right)+4\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow\)\(x+4y-14=0\). Đáp số: \(x+4y-14=0\) Cách khác: B(-2;4) có tọa độ thỏa mãn chỉ phương trình cho trong phương án trả lời B, vì vậy A, C, D bị loại. Hơn nữa, đường thẳng có phương trình cho trong B vuông góc với (d) (vì có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;4\right)\), và vec tơ pháp tuyến của (d) là \(\overrightarrow{v}\left(4;-1\right)\) và \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=0\)). Do đó B là phương án trả lời đúng.
Cho tam giác ABC có A(-2;1), B(4;3), C(2; -5). Viết phương trình trung tuyến kẻ qua đỉnh A của tam giác ABC. \(2x-5y-1=0\) \(2x-5y+1=0\) \(2x+5y-1=0\) \(2x+5y+1=0\) Hướng dẫn giải: Trung điểm M của cạnh BC có tọa độ \(x=\dfrac{4+2}{2}=3;y=\dfrac{3-5}{2}=-1\). Đường trung tuyến AM qua điểm A(-2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AM}\left(5;-2\right)\) , vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;5\right)\) , do đó AM có phương trình \(2\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+5y-1=0\). Đáp số: \(2x+5y-1=0\).
Cho đường thẳng \(\left(d\right):\begin{cases}x=3-2t\\y=2+3t\end{cases}\) và điểm A(1;3). Tìm một điểm thuộc đường thẳng (d) mà khoảng cách từ điểm đó đến điểm A bằng 2 đơn vị . \(B\left(-\dfrac{37}{13};-\dfrac{10}{13}\right)\) \(B\left(-1;5\right)\) \(B\left(5;1\right)\) \(B_1\left(1;5\right);B_2\left(-\dfrac{37}{13};-\dfrac{10}{13}\right)\) Hướng dẫn giải: Xét điểm \(B\left(x=3-2t;y=2+3t\right)\in\left(d\right)\). Ta có \(AB=\sqrt{\left(3-2t-1\right)^2+\left(2+3t-3\right)^2}=\sqrt{\left(2-2t\right)^2+\left(3t-1\right)^2}\) . Điều kiện \(AB=2\Leftrightarrow\left(2-2t\right)^2+\left(3t-1\right)^2=4\Leftrightarrow13t^2-14t+1=0\)\(\Leftrightarrow t=1;t=\dfrac{1}{13}\). Với \(t=1\) ta được điểm \(B_1\left(1;5\right)\) . Với \(t=\dfrac{1}{13}\) ta được \(B_2\left(-\dfrac{37}{13};-\dfrac{10}{13}\right)\). Đáp số: \(B_1\left(1;5\right)\) và \(B_2\left(-\dfrac{37}{13};-\dfrac{10}{13}\right)\)
Trong các vec tơ sau, vec tơ nào là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left(d\right):2x-y+5=0\) \(\overrightarrow{n}\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\) \(\overrightarrow{n}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)\) \(\overrightarrow{n}\left(\dfrac{1}{2};1\right)\) \(\overrightarrow{n}\left(\dfrac{1}{2};-1\right)\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (d) suy ra \(\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\)là một vec tơ pháp tuyến của (d). Vì vậy \(\overrightarrow{n}\) sẽ là vecto pháp tuyến của (d) khi và chỉ khi các tọa đọ của (d) tỉ lệ với 2 và -1. Đáp số: \(\overrightarrow{n}\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)\)
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số \(\left\{\begin{matrix}x=5+t\\y=-9-2t\end{matrix}\right.\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng này. \(2x+y-1=0\) \(2x+y+1=0\) \(x+2y+2=0\) \(x+2y-2=0\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Từ phương trình tham số đã cho suy ra (d) qua điểm \(M\left(5;-9\right)\)và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;-2\right)\), suy ra \(\overrightarrow{n}\left(2;1\right)\)là vec tơ pháp tuyến của (d) và phương trình tổng quát của (d) là \(2\left(x-5\right)+1\left(y+9\right)=0\Leftrightarrow2x+y-1=0\). Cách 2: Thế các phương trình tham số của (d) vào các phương trình cho trong từng phương án trả lời, nếu thấy phương trình nhận được đúng với mọi t thì đó chính là phương án trả lời đúng. Đáp số: 2x + y - 1 = 0.
Tìm tọa độ một vec tơ chỉ phương của đường thẳng (d): \(x=-2-3t,y=3+4t\). \(\left(4;-3\right)\) \(\left(4;3\right)\) \(\left(-3;4\right)\) \(\left(-3;-4\right)\) Hướng dẫn giải: Nhắc lại rằng đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\right.\) có \(\overrightarrow{u}\left(a;b\right)\)là một vec tơ chỉ phương. Đáp số: (-3 ; 4).
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d): \(x-y+2=0\). \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=3-t\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Thế các giá trị của \(x,y\) (tính theo t ) cho bởi các hệ trong 4 phương án trả lời vào phương trình tổng quát của (d) ta thấy chỉ có với \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) , phương trình (ẩn t) nhận được đúng với mọi t. Vì vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) là phương trình tham số của (d). Cách khác: Trong phương trình tổng quát của (d), cho x = 0 ta được y = 2. Đường thẳng (d) qua điểm A(0;2). Vì (1; -1) là tọa độ vecto pháp tuyến của (d) nên \(\overrightarrow{u}\left(1;1\right)\) là vecto chỉ phương của (d). Phương trình tham số của (d) là \(\left\{{}\begin{matrix}x=0+t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ vecto pháp tuyến của đường thẳng (d) đi qua hai điểm \(M\left(1;2\right)\) và \(N\left(5;6\right)\). (4;4) (1;1) (-4;2) (- 1 ; 1) Hướng dẫn giải: (d) qua M và N nên \(\overrightarrow{MN}\left(4;4\right)\)là một vec tơ chỉ phương của (d). Cặp số (x ; y) là tọa độ vecto pháp tuyến của (d) khi và chỉ khi 4. x + 4. y =0. Thử trực tiếp ta thấy đáp số là (-1 ; 1).
Trong các điểm sau đây , điểm nào là một điểm của đường thẳng (d) : \(4x-3y+1=0\)? (1;1) (0;1) (-1;-1) \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\) Hướng dẫn giải: Xét xem điểm nào có tọa độ thỏa mãn phương trình của (d). Đáp số: (-1; -1).
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm M(3;-1) và N(1;5). 3x-y+10=0 3x+y-8 = 0 3x - y + 6 =0 - x+ 3y + 6 =0 Hướng dẫn giải: Cách 1: Kiểm tra tọa độ của M và N có thỏa mãn phương trình cho trong 4 phương án trả lời hay không. Ta thấy dáp số là 3x + y - 8 = 0. Cách 2: Từ tọa độ của M và N suy ra \(\overrightarrow{MN}=\left(-2;6\right)=2.\left(-1;3\right)\), do đó \(\overrightarrow{n}\left(3;1\right)\)là một vecto pháp tuyến của MN. Đường thẳng MN qua M(3;-1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(3;1\right)\) nên có phương trình: \(3\left(x-3\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x+y-8=0\)
