Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng (d): \(-3x+2y+5=0\) ? \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1-3t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=2t\\y=-\dfrac{5}{2}+3t\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: -Kiểm tra đáp số \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) : Thay các giá trị này của \(x,y\) vào phương trình tổng quát của (d) ta được: \(-3\left(1-2t\right)+2\left(-1+3t\right)+5=0\Leftrightarrow12t=0\) chỉ đúng khi \(t=0\), do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) không phải là phương trình tham số của (d). -Kiểm tra đáp số \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) bằng cách thay vào phương trình tổng quát của (d) ta được \(-3\left(1+2t\right)+2\left(-1+3t\right)+5=0\Leftrightarrow0t=0\), đúng với mọi t. Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+3t\end{matrix}\right.\) là phương trình tham số của (d).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng (d): \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{-4}=1\) ? \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=4t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3t\\y=-4+4t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3t\\y=-4-4t\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=6+2t\\y=4+3t\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: -Kiểm tra đáp số \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=4t\end{matrix}\right.\) : Thay các giá trị này của \(x,y\) vào phương trình đã cho của (d) ta được: \(\dfrac{3-3t}{3}+\dfrac{4t}{-4}=1\Leftrightarrow-2t=0\) chỉ đúng khi \(t=0\), do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=4t\end{matrix}\right.\) không phải là phương trình tham số của (d). -Kiểm tra đáp số \(\left\{{}\begin{matrix}x=3t\\y=-4+4t\end{matrix}\right.\) bằng cách thay vào phương trình đã cho của (d) ta được \(\dfrac{3t}{3}+\dfrac{-4+4t}{-4}=1\Leftrightarrow1=1\), đúng với mọi t. Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=3t\\y=-4+4t\end{matrix}\right.\) là phương trình tham số của (d).
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=-3-3t\end{matrix}\right.\). Viết phương trình tổng quát của (d). \(2x+3y-9=0\) \(3x+2y+9=0\) \(2x-3y+9=0\) \(3x+4y+9=0\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Từ phương trình tham số đã cho ta thấy (d) qua điểm A(-1;-3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(2;-3\right)\). Một vec tơ pháp tuyến của (d) là \(\overrightarrow{n}\left(3;2\right)\). Vì vậy (d) có phương trình tổng quát là \(3\left(x+1\right)+2\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow3x+2y+9=0\). Cách 2: Khử t bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2 rồi cộng lại ta được \(3x+2y+9=0\) chính là phương trình tổng quát của (d).
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2t\\y=1+t\end{matrix}\right.\). Viết phương trình tổng quát của (d). \(x+2y+2=0\) \(x+2y-2=0\) \(x-2y-2=0\) \(-x+2y-2=0\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Từ phương trình tham số đã cho ta thấy (d) qua điểm A(0;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(-2;1\right)\). Một vec tơ pháp tuyến của (d) là \(\overrightarrow{n}\left(1;2\right)\). Vì vậy (d) có phương trình tổng quát là \(1\left(x-0\right)+2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+2y-2=0\). Cách 2: Khử t bằng cách nhân phương trình thứ hai với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được \(x+2y=2\Leftrightarrow x+2y-2=0\) chính là phương trình tổng quát của (d).
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-3t\end{matrix}\right.\). Viết phương trình tổng quát của (d). \(x-y-2=0\) \(x+y-2=0\) \(x-y+2=0\) \(x+y+2=0\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Từ phương trình tham số đã cho ta thấy (d) qua điểm A(-2;0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(1;-1\right)\). Một vec tơ pháp tuyến của (d) là \(\overrightarrow{n}\left(1;1\right)\). Vì vậy (d) có phương trình tổng quát là \(1\left(x+2\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\). Cách 2: Khử t bằng cách cộng theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được \(x+y=-2\Leftrightarrow x+y+2=0\) chính là phương trình tổng quát của (d).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left(d\right):2x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):-x+2y-5=0\) là \(\left(2;-5\right)\) \(\left(1;3\right)\) \(\left(\sqrt{2};1\right)\) \(\left(-\dfrac{1}{3};2\right)\) Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\-x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) ta được nghiệm \(\left(x=1;y=3\right)\). Vì vậy giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \(\left(1;3\right)\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left(d\right):2x+y-9=0\) và \(\left(d'\right):-4x+3y-7=0\) là \(\left(2;5\right)\) \(\left(1;-3\right)\) \(\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\) \(\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-9=0\\-4x+3y-7=0\end{matrix}\right.\) ta được nghiệm \(\left(x=2;y=5\right)\). Vì vậy giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \(\left(2;5\right)\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left(d\right):\sqrt{2}x+3y-5=0\) và \(\left(d'\right):2x-3\sqrt{2}y+\sqrt{2}=0\) là \(\left(2;5\right)\) \(\left(1;\sqrt{2}\right)\) \(\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\) \(\left(\sqrt{2};1\right)\) Hướng dẫn giải: Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x+3y-5=0\\2x-3\sqrt{2}y+\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\) ta được nghiệm \(\left(x=\sqrt{2};y=1\right)\). Vì vậy giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \(\left(\sqrt{2};1\right)\).
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=3+t\end{matrix}\right.\) với dường thẳng \(\left(d'\right):x-y=0\). \(\left(-3;1\right)\) \(\left(-3;-3\right)\) \(\left(4;4\right)\) \(\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\) Hướng dẫn giải: Thế \(x=2+2t,y=3+t\) từ phương trình của (d) vào phương trình (d') ta được: \(\left(2+2t\right)-\left(3+t\right)=0\Leftrightarrow t=1\). Thế \(t=1\) trở lại phương trình của (d) ta được \(x=4;y=4\). Giao điểm của hai đường là \(\left(4;4\right)\).
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t\\y=6-4t\end{matrix}\right.\) với dường thẳng \(\left(d'\right):x+y+1=0\). \(\left(-11;10\right)\) \(\left(2;-3\right)\) \(\left(-5;4\right)\) \(\left(\sqrt{2};-\sqrt{2}-1\right)\) Hướng dẫn giải: Thế \(x=-6+5t,y=6-4t\) từ phương trình của (d) vào phương trình (d') ta được: \(\left(-6+5t\right)+\left(6-4t\right)+1=0\Leftrightarrow t=-1\). Thế \(t=-1\) trở lại phương trình của (d) ta được \(x=-11;y=10\). Giao điểm của hai đường là \(\left(-11;10\right)\).
