Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t\\y=6-4t\end{matrix}\right.\) với dường thẳng \(\left(d'\right):x+y-\sqrt{2}=0\). \(\left(-11;10\right)\) \(\left(2;-3\right)\) \(\left(-6+5\sqrt{2};6-4\sqrt{2}\right)\) \(\left(\sqrt{2};-\sqrt{2}-1\right)\) Hướng dẫn giải: Thế \(x=-6+5t,y=6-4t\) từ phương trình của (d) vào phương trình (d') ta được: \(\left(-6+5t\right)+\left(6-4t\right)-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2}\). Thế \(t=\sqrt{2}\) trở lại phương trình của (d) ta được \(x=-6+5\sqrt{2};y=6-4\sqrt{2}\). Giao điểm của hai đường là \(\left(-6+5\sqrt{2};6-4\sqrt{2}\right)\).
Giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2t\\y=4+t\end{matrix}\right.\) với đường thẳng \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+t'\\y=5t'\end{matrix}\right.\) có tọa độ là \(\left(-6;0\right)\) \(\left(2;5\right)\) \(\left(0;-5\right)\) \(\left(-2;-15\right)\) Hướng dẫn giải: Chuyển phương trình của (d') về dạng tổng quát bằng cách nhân phương trình thứ nhất với -5 rồi cộng với phương trình thứ hai, ta được \(\left(d'\right):-5x+y=-5\). Thế \(\left\{{}\begin{matrix}x=2t\\y=4+t\end{matrix}\right.\) vào phương trình của (d') ta được \(-5.2t+\left(4+t\right)=-5\Leftrightarrow t=1\). Thế \(t=1\) trở lại phương trình của (d) ta được \(\left(x=2;y=5\right)\). Giao điểm hai đường có tọa độ là \(\left(2;5\right)\)
Giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=4+t\end{matrix}\right.\) với đường thẳng \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+t'\\y=-5+4t'\end{matrix}\right.\) có tọa độ là \(\left(-1;-13\right)\) \(\left(7;1\right)\) \(\left(1;4\right)\) \(\left(3;3\right)\) Hướng dẫn giải: Chuyển phương trình của (d') về dạng tổng quát bằng cách nhân phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai, ta được \(\left(d'\right):-4x+y=-9\). Thế \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t\\y=4+t\end{matrix}\right.\) vào phương trình của (d') ta được \(-4.\left(1-2t\right)+\left(4+t\right)=-9\Leftrightarrow t=-1\). Thế \(t=-1\) trở lại phương trình của (d) ta được \(\left(x=3;y=3\right)\). Giao điểm hai đường có tọa độ là \(\left(3;3\right)\)
Giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.\) với đường thẳng \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5-\sqrt{2}+t'\\y=3-6\sqrt{2}+4t'\end{matrix}\right.\) có tọa độ là \(\left(\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\) \(\left(5+\sqrt{2};3+2\sqrt{2}\right)\) \(\left(3+\sqrt{2};-1+2\sqrt{2}\right)\) \(\left(5-\sqrt{2};3+2\sqrt{2}\right)\) Hướng dẫn giải: Chuyển phương trình của (d') về dạng tổng quát bằng cách nhân phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai, ta được \(\left(d'\right):-4x+y=-17-2\sqrt{2}\). Thế \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.\) vào phương trình của (d') ta được \(-4.\left(5+t\right)+\left(3+2t\right)=-17-2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\sqrt{2}\). Thế \(t=\sqrt{2}\) trở lại phương trình của (d) ta được \(\left(x=5+\sqrt{2};y=3+2\sqrt{2}\right)\). Giao điểm hai đường có tọa độ là \(\left(5+\sqrt{2};3+2\sqrt{2}\right)\)
Mệnh đề nào sau đây đúng? Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):2x+y-4=0\) song song với nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):x-y-1=0\) cắt nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):2x-2y+2=0\) trùng nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):-x+y-4=0\) cắt nhau Hướng dẫn giải: Mệnh đề " Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-y+1=0\) và \(\left(d'\right):2x-2y+2=0\) trùng nhau" đúng vì \(2x-2y+2=0\Leftrightarrow x-y+1=0\).
Mệnh đề nào sau đây đúng? Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):-3x+6y-3=0\) song song với nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):y=-2x\) cắt nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):2x+5=4y\) trùng nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):\sqrt{2}x=2\sqrt{2}y-4\sqrt{3}\) cắt nhau Hướng dẫn giải: Mệnh đề " Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):y=-2x\) cắt nhau" đúng vì \(\left(d\right):2x-2y+2=0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-2\right)\) và \(\left(d'\right):y=-2x\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}\left(1;2\right)\); hai vecto pháp tuyến này không cùng phương nên (d) và (d') cắt nhau.
Mệnh đề nào sau đây sai? Hai đường thẳng \(\left(d\right):3x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):3x=2y-3\) song song với nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):3x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):y=\dfrac{3}{2}x+1\) cắt nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):3x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):2x-3y-1=0\) cắt nhau Hai đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):\sqrt{2}x=2\sqrt{2}y-4\sqrt{3}\) song song với nhau Hướng dẫn giải: Mệnh đề " Hai đường thẳng \(\left(d\right):3x-2y+1=0\) và \(\left(d'\right):y=\dfrac{3}{2}x+1\) cắt nhau" sai vì : \(\left(d\right):3x-2y+2=0\) và \(\left(d'\right):y=\dfrac{3}{2}x+1\Leftrightarrow3x-2y+2=0\). Hệ phương trình xác định tọa độ giao điểm hai đường là \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y+1=0\\3x-2y+2=0\end{matrix}\right.\). Hệ này vô nghiệm nên hai đường thẳng không cắt nhau.
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau. \(\left(d\right):4x-10y+1=0\) cắt \(\left(d'\right):x+y+2=0\) \(\left(d\right):12x-6y+10=0\) song song với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.\) \(\left(d\right):8x+10y-12=0\) trùng với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t\\y=6-4t\end{matrix}\right.\) \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-3t\end{matrix}\right.\) song song với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t'\\y=2+6t'\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Mệnh đề " \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-3t\end{matrix}\right.\) song song với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1-2t'\\y=2+6t'\end{matrix}\right.\)" sai vì: Từ phương trình của hai đường thẳng thấy ngay (d) và (d') cùng đi qua điểm (1;2) và các vecto chỉ phương của (d) và (d') lần lượt là \(\overrightarrow{v}\left(1;-3\right),\overrightarrow{v'}\left(-2;6\right)=-2\overrightarrow{v}\), suy ra (d) và (d') trùng nhau (chứ không phải là song song với nhau).
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau. \(\left(d\right):2x-y-1=0\) cắt \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-3-3t\end{matrix}\right.\) \(\left(d\right):\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{-2}\) trùng với với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-2t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) \(\left(d\right):\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y+3}{5}\) song song với \(\left(d'\right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+18}{10}\) \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-2+t\\y=-t\end{matrix}\right.\) song song với \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-4t'\\y=2-t'\end{matrix}\right.\) Hướng dẫn giải: Mệnh đề " \(\left(d\right):2x-y-1=0\) cắt \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-3-3t\end{matrix}\right.\)" đúng vì: Từ phương trình của hai đường thẳng thấy ngay (d) và (d') có các vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{v}\left(1;2\right),\overrightarrow{v'}\left(2;-3\right)\), hai vecto này không cùng phương nên suy ra (d) và (d') cắt nhau.
Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;1) xuống đường thẳng \(2x-y+1=0\) có tọa độ là \(\left(1;7\right)\) \(\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\) \(\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3}\right)\) \(\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{7}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống đường thẳng (d) chính là giao điểm của đướng thẳng (d) với đường thẳng (d') qua A và vuông góc với (d). Từ phương trình của (d) suy ra (d) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)\). Đường thẳng (d') vuông góc với (d) nên (d') nhận \(\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)\) làm vecto chỉ phương, do đó \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1-t\end{matrix}\right.\). Thế các giá trị này vào phương trình của (d) ta được \(2\left(1+2t\right)-\left(1-t\right)+1=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}\). Thế \(t=-\dfrac{2}{5}\) vào phương trình tham số của (d') ta được tọa độ hình chiếu vuông góc H của A xuống (d) là \(x=1+2.\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{5};y=1-\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{7}{5}\). Đáp số: \(\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)
