Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A(1;1) xuống đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.\) \(\left(\dfrac{17}{5};-\dfrac{1}{5}\right)\) \(\left(17;-1\right)\) \(\left(\dfrac{17}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\) \(\left(-\dfrac{17}{5};\dfrac{1}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (d) suy ra (d) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(1;2\right)\). H thuộc đường thẳng (d) nên H có tọa độ \(\left(x=5+t;y=3+2t\right)\), do đó \(\overrightarrow{AH}=\left(4+t;2+2t\right)\). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (d) suy ra \(AH\perp\left(d\right)\) nên \(\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{v}\), do đó \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow\left(4+t\right).1+\left(2+2t\right).2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{8}{5}\) Như vậy \(H\left(x=5+t=5-\dfrac{8}{5}=\dfrac{17}{5};y=3+2t=3-\dfrac{16}{5}=-\dfrac{1}{5}\right)\). Đáp số \(\left(\dfrac{17}{5};-\dfrac{1}{5}\right)\)
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A(2;1) xuống đường thẳng \(\left(d\right):\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}\) \(\left(\dfrac{9}{5};-\dfrac{2}{5}\right)\) \(\left(4;-4\right)\) \(\left(-\dfrac{9}{5};-\dfrac{2}{5}\right)\) \(\left(1;-1\right)\) Hướng dẫn giải: Trong phương trình của (d), đặt \(\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=t\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-t\\y=-2+2t\end{matrix}\right.\) Từ đó (d) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(-1;2\right)\). H thuộc đường thẳng (d) nên H có tọa độ \(\left(x=3-t;y=-2+2t\right)\), do đó \(\overrightarrow{AH}=\left(1-t;-3+2t\right)\). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (d) suy ra \(AH\perp\left(d\right)\) nên \(\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{v}\), do đó \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow\left(1-t\right).\left(-1\right)+\left(-2+2t\right).2=0\Leftrightarrow t=-1\) Như vậy \(H\left(x=3-t=3-\left(-1\right)=4;y=-2+2t=-2-2=-4\right)\). Đáp số \(\left(4;-4\right)\)
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):10x+7y-3=0,\left(d'\right):3x+y+1=0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng này. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\sin\varphi=\dfrac{37}{\sqrt{1490}}\) \(\cos\varphi=\dfrac{37}{\sqrt{1490}}\) \(\cos\varphi=\dfrac{23}{\sqrt{1490}}\) \(\sin\varphi=\dfrac{23}{\sqrt{1490}}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ở trang 78 Sách GK Hình học 10: \(\cos\varphi=\dfrac{\left|aa'+bb'\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a'^2+b'^2}}\)
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):2x+3y-1=0,\left(d'\right):3x+2y+1=0\). Tính côsin của góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó. \(-\dfrac{12}{13}\) \(\dfrac{12}{13}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(0\) Hướng dẫn giải: Nếu \(\varphi\)là góc giửa hai đường thẳng (d), (d') thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|3.2+2.3\right|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{12}{13}\)
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):4x+3y-1=0,\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=3+4t\\y=1+3t\end{matrix}\right.\). Tính côsin của góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó. \(45^0\) \(90^0\) \(60^0\) \(0^0\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (d') suy ra (d') có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v'}\left(4;3\right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}\left(3;-4\right)\). Từ phương trình (d) suy ra (d) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(4;3\right)\). Do đó \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=4.3+3.\left(-4\right)=0\) suy ra \(\left(d\right)\perp\left(d'\right)\). Góc giữa hai đường thẳng là \(90^0\).
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2-3t\\y=1+4t\end{matrix}\right.,\left(d'\right):3x+2y+1=0\). Tính côsin của góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó. \(\dfrac{6}{5\sqrt{13}}\) \(\dfrac{18}{5\sqrt{13}}\) \(\dfrac{17}{5\sqrt{13}}\) \(0\) Hướng dẫn giải: Khử t trong phương trình của (d) bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 4, phương trình thứ hai với 3 rồi cộng lại ta được phương trình tổng quát của (d) là \(\left(d\right):4x+3y-11=0\). Nếu \(\varphi\)là góc giửa hai đường thẳng (d), (d') thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|4.3+3.2\right|}{\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{18}{5\sqrt{13}}\)
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2-3t\\y=1+4t\end{matrix}\right.,\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2-3t\end{matrix}\right.\). Tính côsin của góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó. \(\dfrac{4}{\sqrt{10}}\) \(\dfrac{18}{5\sqrt{13}}\) \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) \(\dfrac{2}{\sqrt{10}}\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (d) và (d') suy ra các vecto pháp tuyến của (d) và (d') lần lượt là \(\overrightarrow{n}\left(4;3\right),\overrightarrow{n'}\left(3;1\right)\) Do đó nếu \(\varphi\)là góc giửa hai đường thẳng (d), (d') thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|4.3+3.1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{15}{5\sqrt{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)
Cho điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) và đường thẳng \(\left(\Delta\right):ax+by+c=0\). Kí hiệu \(d\left(M_0,\Delta\right)\) là khoảng cách từ \(M_0\)tới \(\Delta\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \(d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \(d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0-by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \(d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|-ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) Hướng dẫn giải: Xem lại công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (tang 79 sách GK Hình học 10)
Khoảng cách từ điểm \(M\left(3;-4\right)\) đến đường thẳng \(\left(\Delta\right):3x+4y-5=0\) là \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{-12}{5}\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{12}{5}\) \(d\left(M,\Delta\right)=4\) \(d\left(M,\Delta\right)=6\) Hướng dẫn giải: \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|3.3+\left(-4\right).4-5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{12}{5}\)
Khoảng cách từ điểm \(M\left(2;-2\right)\) đến đường thẳng \(\left(\Delta\right):\dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y+1}{2}\) là \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{9\sqrt{13}}{13}\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|2.2+3.\left(-2\right)-1\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\) \(d\left(M,\Delta\right)=-\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{11\sqrt{13}}{13}\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của \(\left(\Delta\right)\) dưới dạng tổng quát: \(\left(\Delta\right):\dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y+1}{2}\Leftrightarrow2\left(x-2\right)+3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y-1=0\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|2.2+3.\left(-2\right)-1\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)
