Khoảng cách từ điểm \(M\left(3;-4\right)\) đến đường thẳng \(\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=-1+4t\end{matrix}\right.\) là \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{12}{5}\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{13}{5}\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{11}{5}\) \(d\left(M,\Delta\right)=6\) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình của \(\left(\Delta\right)\)dưới dạng tổng quát bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 4, nhân phương trình thứ hai với -3 rồi cộng lại: \(\left(\Delta\right):4x-3y-11=0\) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|4.3-3.\left(-4\right)-11\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{13}{5}\)
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \(\left(d\right):4x-2y+6=0,\left(d'\right):x-3y+1=0\). \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) \(75^0\) Hướng dẫn giải: Nếu \(\varphi\)là góc giửa hai đường thẳng (d), (d') thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|4.1+\left(-2\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{4^2+2^2}\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{200}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\Rightarrow\varphi=45^0\)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau sai? Khoảng cách từ điểm A(3;5) tới đường thẳng \(\left(d\right):4x+3y+1=0\) là \(\dfrac{28}{5}\) Đường tròn tâm I(1;-2) tiếp xúc với đường thẳng \(\left(d\right):3x-4y-26=0\) có bán kính \(R=3\) Khoảng cách từ điểm B(1;2) tới đường thẳng \(\left(d\right):3x+4y-11=0\)là 1. Đường tròn tâm I(-2;-2) tiếp xúc với đường thẳng \(\left(d\right):5x+12y-10=0\) có bán kính \(R=\dfrac{44}{13}\) Hướng dẫn giải: Điểm B(1;2) có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left(d\right):3x+4y-11=0\), suy ra \(B\in\left(d\right)\), do đó khoảng cách từ B(1;2) tới \(\left(d\right):3x+4y-11=0\) bằng 0.
Cho hai đường thẳng \(\left(d\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+at\\y=1-2t\end{matrix}\right.\) và \(\left(d'\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+4t'\\y=2-3t'\end{matrix}\right.\). Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng này tạo thành một góc \(45^0\) \(a=-1;a=14\) \(a=\dfrac{2}{7}\) \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\) \(a=-14\) Hướng dẫn giải: (d) và (d') có vec to chỉ phương \(\overrightarrow{v}\left(a;-2\right)\) và \(\overrightarrow{v'}\left(4;-3\right)\). Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng đã cho, tức là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{v}\left(a;-2\right)\) và \(\overrightarrow{v'}\left(4;-3\right)\) thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.4+\left(-2\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}\). Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=45^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó \(\dfrac{\left|4a+6\right|}{5\sqrt{a^2+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(4a+6\right)^2=25\left(a^2+4\right)\Leftrightarrow7a^2+96a-28=0\) Phương trình tren có 2 nghiệm \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\). Đáp số: \(a=\dfrac{2}{7};a=-14\)
Viết phương trình đường thẳng qua A(-2;0) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):x+3y-3=0\) một góc \(45^0\) \(\left(d_1\right);2x+3y+4=0;\left(d_2\right):3x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y+2=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a=0\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\)) Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.1+b.3\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\). Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=45^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{10}=\left|a+3b\right|\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow5\left(a^2+b^2\right)=\left(a+3b\right)^2\) \(\Leftrightarrow4a^2-6ba-4b^2=0\) Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=9b^2+16b^2=25b^2\). Phương trình có hai nghiệm \(a=\dfrac{3b+5b}{4}=2b;a=\dfrac{3b-5b}{4}=-\dfrac{b}{2}\). Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(45^0\), cụ thể là: Vơi \(a=2b\) thế vào (1) ta được \(\left(d_1\right):2bx+by+2\left(2b\right)=0\Leftrightarrow2x+y+4=0\) Với \(a=-\dfrac{b}{2}\) thế vào (1) ta được \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\). Đáp số: \(\left(d_1\right);2x+y+4=0;\left(d_2\right):x-2y+2=0\)
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right):\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=-2t\end{matrix}\right.\) một góc \(60^0\) \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24-\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+(24+\sqrt{507})t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x-2y-3=0\) \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) \(\left(d_1\right);2x-y+4=0;\left(d_2\right):x+2y-3=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) qua A(-2;0) có phương trình tham số dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+at\\y=2+bt\end{matrix}\right.\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\)). Hai đường thẳng (d), \(\left(\Delta\right)\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{v}\left(a;b\right)\) và \(\overrightarrow{u}\left(3;-2\right)\). Gọi \(\varphi\)là góc giữa hai đường thẳng (d) và \(\left(\Delta\right)\) thì \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a.3+b.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\). Hai đường thẳng tạo với nhau một góc \(60^0\) khi và chỉ khi \(\varphi=60^0\Leftrightarrow\cos\varphi=\cos60^0=\dfrac{1}{2}\), do đó \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}=\left|3a-2b\right|2\) \(\Leftrightarrow13\left(a^2+b^2\right)=4\left(3a-2b\right)^2\) \(\Leftrightarrow23a^2-48ba+3b^2=0\) Xem phương trình trên là phương trình ẩn a, tham số b ta có \(\Delta'=\left(24b\right)^2-23.3b^2=507b^2\). Phương trình có hai nghiệm \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23};a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\). Vậy có 2 đường thẳng tạo với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một góc \(60^0\), cụ thể là: Vơi \(a=\dfrac{24b-\sqrt{507}b}{23}\) , chọn \(b=1\)thế vào (1) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\) Với \(a=\dfrac{24b+\sqrt{507}b}{23}\), chọn \(b=1\) thế vào (1) ta được \(\left(d_2\right):\dfrac{-b}{2}x+by+2.\left(-\dfrac{b}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\). Đáp số: \(\left(d_1\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24-\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.;\left(d_2\right):\left\{{}\begin{matrix}x=-1+\dfrac{24+\sqrt{507}}{23}t\\y=2+t\end{matrix}\right.\)
Viết phương trình đường thẳng \(\left(d\right)\) song song với đường thẳng \(\left(\Delta\right):8x-6y-5=0\) và cách \(\left(\Delta\right)\) một khoảng bằng 5. \(\left(d_1\right):8x-6y+45=0\); \(\left(d_2\right):8x-6y-55=0\) \(\left(d_1\right):8x-6y+45=0\); \(\left(d_2\right):8x+6y-55=0\) \(\left(d_1\right):8x-6y+35=0\); \(\left(d_2\right):8x-6y-55=0\) \(\left(d_1\right):8x-6y-45=0\); \(\left(d_2\right):8x-6y-55=0\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết là quỹ tích các điểm cách đều đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) một khoảng bằng 5 là hai đường thẳng song song với \(\left(\Delta\right)\) vì vậy bài toán đơn giản là viết phương trình quỹ tích các điểm \(M\left(x;y\right)\) cách \(\left(\Delta\right):8x-6y-5=0\) một khoảng bằng 5. Như vậy \(\dfrac{\left|8x-6y-5\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=5\Leftrightarrow8x-6y-5=\pm50\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}8x-6y-55=0\\8x-6y+45=0\end{matrix}\right.\) Đáp số: \(\left(d_1\right):8x-6y+45=0\); \(\left(d_2\right):8x-6y-55=0\)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;1) và cách điểm B(3;6) một khoảng bằng 2. \(\left(d_1\right):y-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\) \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\) \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x+20y-1=0\) \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):-21x+20y-1=0\) Hướng dẫn giải: (d) qua A(1;1) có phương trình tổng quát dạng \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-\left(a+b\right)=0\) (1) (với điều kiện \(a^2+b^2>0\)) (d) cách điểm B(3;6) một khoảng bằng 2 nghĩa là \(\dfrac{\left|a\left(3-1\right)+b\left(6-1\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a+5b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\) \(\Leftrightarrow\left(2a+5b\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow20ab+21b^2=0\Leftrightarrow b=0;b=-\dfrac{20}{21}a\) Như vậy phương trình 2 ẩn a, b trên có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=0\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=-\dfrac{20}{21}a\end{matrix}\right.\) (chú ý điều kiện \(a^2+b^2>0\)). Với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=0\end{matrix}\right.\) thế vào (1) ta được \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow a\left(x-1\right)-0\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-1=0\) Với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b=-\dfrac{20}{21}a\end{matrix}\right.\) thế vào (1) ta được \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow a\left(x-1\right)-\dfrac{20}{21}\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)-\dfrac{20}{21}\left(y-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow21x-20y-1=0\) Đáp số: \(\left(d_1\right):x-1=0;\left(d_2\right):21x-20y-1=0\)
Cho hai đường tròn \(\left(C_1\right):x^2+y^2-6x+4y+9=0\) và \(\left(C_2\right):x^2+y^2=9\). Tìm câu trả lời đúng ? \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) tiếp xúc nhau \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) nằm ngoài nhau \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) có 3 tiếp tuyến chung Hướng dẫn giải: Để xét vị trí tương đối hai đường tròn ta tìm tâm và bán kính của hai đường tròn, tính khoảng cách hai tâm và so sánh kết quả với tổng, hiệu hai bán kính. Ta có: \(\left(C_1\right):\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=4\) có tâm \(I_1\left(3;-2\right)\), bán kính \(R_1=2\). \(\left(C_2\right):x^2+y^2=9\) có tâm \(I_2\left(0;0\right)\) bán kính \(R_2=3\). Như vậy \(R_1+R_2=\sqrt{13}< \sqrt{25}=I_1I_2\) nên hai đường tròn cắt nhau.
Tìm các giao điểm các giao điểm của hai đường tròn \(\left(C_1\right):x^2+y^2-7x-y=0\) và \(\left(C_2\right):x^2+y^2-x-7y-18=0\) . \(A\left(1;2\right);B\left(6;-3\right)\) \(A\left(1;-2\right);B\left(6;3\right)\) \(A\left(1;-2\right);B\left(-6;3\right)\) \(A\left(2;-1\right);B\left(3;6\right)\) Hướng dẫn giải: Các giao điểm của hai đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-7x-y=0\\x^2+y^2-x-7y-18=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-7x-y=-x-7y-18=0\)\(\Rightarrow x-y-3=0\Rightarrow y=x-3\), thế trở lại hệ đã cho ta được \(x^2+\left(x-3\right)^2-7x-\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow2x^2-14x+12=0\)\(\Leftrightarrow x=1;x=6\). Hai giao điểm là \(A\left(1;-2\right),B\left(6;3\right)\) Đáp số: \(A\left(1;-2\right),B\left(6;3\right)\)
