Viết phương trình đường tròn tâm I(1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left(d\right):3x-4y+4=0\) . \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\) \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\) \(x^2+y^2-2x+4y+4=0\) \(x^2+y^2+2x-4y+4=0\) Hướng dẫn giải: Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) : \(R=\frac{\left|3.1-4.\left(-2\right)+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\) Phương trình đường tròn : \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x+4y-4=0\)
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua gốc tọa độ và có tâm I (-3;4). \(x^2+y^2+6x-8y=0\) \(x^2+y^2-6x+8y=0\) \(x^2+y^2+6x+8y=0\) \(x^2+y^2-6x-8y=0\) Hướng dẫn giải: Bán kính của đường tròn \(R=IO=\sqrt{\left(-3\right)^2+4^2}=5\) Phương trình đường tròn : \(\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=25\)\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+6x-8y=0\). Đáp số: \(x^2+y^2+6x-8y=0\)
Viết phương trình các đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng \(2x-y-3=0\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ. \(x^2+y^2+6x+6y-9=0\) và \(x^2+y^2+2x+2y+1=0\) \(x^2+y^2-6x-6y+9=0\) và \(x^2+y^2-2x+2y+1=0\) \(x^2+y^2-6x-6y-9=0\) và \(x^2+y^2-2x-2y-1=0\) \(x^2+y^2+6x+6y+9=0\) và \(x^2+y^2-2x+2y-1=0\) Hướng dẫn giải: Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ có tâm cách đều hai trục tọa độ, do đó có tâm nằm trên các đường thẳng \(y=\pm x\). Từ đó, tâm I của đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-3=0\\y=\pm x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x\\2x-x-3=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-x\\2x+x-3=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x=3;y=3\right)\\\left(x=1;y=-1\right)\end{matrix}\right.\) Nếu tâm \(I\left(3;3\right)\) thì đường tròn có bán kính là \(R=\left|x\right|=\left|3\right|=3\) và có phương trình là \(\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=3^2\Leftrightarrow x^2+y^2-6x-6y+9=0\). Nếu tâm \(I\left(1;-1\right)\) thì \(R=\left|x\right|=1\) và có phương trình \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2-2x+2y+1=0\) Đáp số: \(x^2+y^2-2x+2y+1=0\); \(x^2+y^2-6x-6y+9=0\).
Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm A(5;3) và tiếp xúc với đường thẳng (d): \(x+3y+2=0\) tại điểm B(1;-1). \(x^2+y^2+4x+4y+2=0\) \(x^2+y^2+4x+4y-2=0\) \(x^2+y^2-4x-4y+2=0\) \(x^2+y^2-4x-4y-2=0\) Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d): \(x+3y+2=0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;3\right)\) nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(3;-1\right)\). Kí hiệu \(\left(a;b\right)\) là tọa độ tâm I của (C). Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{v}=0\) và \(IB=IA\) tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1;b+1\right)\left(3;-1\right)=0\\\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2=\left(a-5\right)^2+\left(b-3\right)^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-1\right)+\left(b+1\right).\left(-1\right)=0\\-2a+2b+2-10a-6b+34\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-b=4\\8a+8b=32\end{matrix}\right.\) Giải hệ trên ta được \(a=b=2\). Như vậy I(2;2) và \(R^2=IA^2=\left(2-1\right)^2+\left(2+1\right)^2=10\). Phương trình của (C) là \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-4y-2=0\)
Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(4;3); B(-2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng \(x+2y+5=0\). \(x^2+y^2+6x-8y-25=0\) \(x^2+y^2-6x+8y-25=0\) \(x^2+y^2-6x+8y+25=0\) \(x^2+y^2+6x-8y+25=0\) Hướng dẫn giải: Đường trung trực của đoạn AB có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{AB}\left(-6;-2\right)=-2.\left(3;1\right)\) và qua trung điểm \(M\left(1;2\right)\) của đoạn AB nên có phương trình \(3.\left(x-1\right)+1.\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow3x+y-5=0\). Tâm I của (C) có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3x+y-5=0\\x+2y+5=0\end{matrix}\right.\). Giải ra ta được \(\left(x=3;y=-4\right)\). Vậy \(I\left(3;-4\right)\). Bán kính đường tròn là \(R=IA=\sqrt{50}\). (C) có phương trình \(\left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=50\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2-6x+8y-25=0\). Đáp số: \(x^2+y^2-6x+8y-25=0\)
Tìm các giá trị của m để đường tròn \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2mx-4\left(m-2\right)y+6-m=0\) có bán kính bằng \(\sqrt{10}\). m = 1; m = 3 m = 2; m = -3 m = 0; m = 3 m = 0; m = -3 Hướng dẫn giải: \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2mx-4\left(m-2\right)y+6-m=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+\left(y-2\left(m-2\right)\right)^2=m^2+\left(2\left(m-2\right)\right)^2+m-6\) nên \(\left(C_m\right)\) có bán kính R cho bởi \(R^2=m^2+\left(2\left(m-2\right)\right)^2+m-6=5m^2-8m+10\). Điều kiện nảy ra khi \(R^2=10\Leftrightarrow5m^2-15m+10=10\) \(\Leftrightarrow m=0;m=3\) Đáp số: \(m=0;m=3\)
Trong họ đường tròn \(\left(C_m\right):x^2+y^2+2mx-2\left(m+1\right)y-4m-4=0\), hãy tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất. \(x^2+y^2+3x-y+2=0\) \(x^2+y^2+3x-y-2=0\) \(x^2+y^2-3x+y+2=0\) \(x^2+y^2-3x+y-2=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(C_m\right):x^2+y^2+2mx-2\left(m+1\right)y-4m-4=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+m\right)^2+\left(y-m-1\right)^2=2m^2+6m+5\). \(R^2=2m^2+6m+5=2\left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\), R nhỏ nhất khi \(m=-\dfrac{3}{2}\), khi đó đường tròn có phương trình \(x^2+y^2-3x+y+2=0\). Đáp số: \(x^2+y^2-3x+y+2=0\)
Cho đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2+6x-2y=0\) và đường thẳng \(\left(d\right):x+3y+2=0\). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với (d). \(x+3y+5=0\) và \(x+3y-5=0\) \(x+3y-10=0\) và \(x+3y+10=0\) \(x+3y-8=0\) và \(x+3y+8=0\) \(x+3y-12=0\) và \(x+3y+12=0\) Hướng dẫn giải: \(\left(C\right):x^2+y^2+6x-2y=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=10\) có tâm \(I\left(-3;1\right)\), bán kính \(R=\sqrt{10}\). Các đường thẳng cùng phương với (d) có phương trình \(x+3y+c=0\). Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ I tới nó bằng bán kính, tức là \(\dfrac{\left|-3+3.1+c\right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left|c\right|=10\). Với \(c=\pm10\) ta có hai tiếp tuyến của đường tròn song song với (d), đó là \(x+3y\pm10=0\). Đáp số: \(x+3y+10=0;x+3y-10=0\)
Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3;-2) tới đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2-4x-2y=0\). \(2x+y+8=0;x-2y-1=0\) \(2x-y+8=0;x+2y-1=0\) \(2x-y-8=0;x+2y+1=0\) \(2x+y-8=0;x-2y+1=0\) Hướng dẫn giải: Từ phương trình của (C) suy ra (C) có tâm I(2;1). Gọi \(M\left(x;y\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến (kẻ qua A tới đường tròn) với đường tròn (C) đã cho. Như vậy ta có: \(MA\perp MI\) và \(M\in\left(C\right)\) tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM}=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-2\right)+\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-5x+y+4=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\) Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được \(-x+3y+4=0\Leftrightarrow x=3y+4\) Thế \(x=3y+4\) vào phương trình thứ hai của hệ và rút gọn ta được \(10y^2+10y=0\Leftrightarrow y=0;y=-1\). -Với \(y=-1\) thì \(x=3y+4=1\), tiếp điểm là \(M\left(1;-1\right)\) (hình vẽ). Tiếp tuyến qua A(3;-2) và có vecto pháp tuyên \(\overrightarrow{IM}=\left(1-2;-1-1\right)=\left(-1;-2\right)\) nên tiếp tuyến có phương trình \(\left(-1\right).\left(x-3\right)-2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+2y+1=0\) - Với \(y=0\) thì \(x=3y+4=4\), tiếp điểm là N(4;0) (hình vẽ). Tiếp tuyến qua A(3;-2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{IN}=\left(4-2;0-1\right)=\left(2;-1\right)\) nên tiếp tuyến có phương trình \(2.\left(x-3\right)+\left(-1\right)\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-8=0\)
Xét vị trí tương đối của hai đường tròn \(\left(C_1\right):x^2+y^2-2x-2y-2=0\) và \(\left(C_2\right):x^2+y^2-4x-6y-3=0\). \(\left(C_1\right)\) ở ngoài \(\left(C_2\right)\) \(\left(C_1\right)\) tiếp xúc ngoài \(\left(C_2\right)\) \(\left(C_1\right)\) cắt \(\left(C_2\right)\) \(\left(C_1\right)\) tiếp xúc trong \(\left(C_2\right)\) Hướng dẫn giải: \(\left(C_1\right):x^2+y^2-2x-2y-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\) có tâm và bán kính \(I_1\left(1;1\right),R=2\). \(\left(C_2\right):x^2+y^2-4x-6y-3=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=16\) có tâm và bán kính \(I_2\left(2;3\right),R=4\). Khoảng cách hai tâm \(I_1+I_2=\sqrt{5}\), tổng hai bán kính \(R_1+R_2=6\). Ta có \(I_1I_2< R_1+R_2\). Vậy \(\left(C_1\right),\left(C_2\right)\) cắt nhau. Đáp số: \(\left(C_1\right),\left(C_2\right)\) cắt nhau.
