Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình sau \(x^2+2mx+2m-1=0\) (m là tham số). Tính giá trị biểu thức \(x^2_1+x_2^2\) ? \(4m^2-4m+2\) \(4m^2+2m+4\) \(4m^2-6m+6\) \(4m^2-5m+2\) Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý Vi-et : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\). \(x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\)\(\left(-2m\right)^2-2\left(2m-1\right)=4m^2-4m+2\).
Tìm m để phương trình \(x^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x^2_1+x^2_2=8\). \(m=1\) hoặc \(m=\dfrac{7}{2}\) \(m=\dfrac{7}{2}\) \(m=2\) hoặc \(m=3\) \(m=-\dfrac{4}{5}\) hoặc \(m=3\) Hướng dẫn giải: Để phương trình \(x^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt thì : \(\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\left(m-2\right)^2-\left(m-3\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m^2-4m+4-m+3>0\)\(\Leftrightarrow m^2-5m+7>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) Điều này đúng với mọi m nên với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng định lý Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\) \(x_1^2+x_2^2=\left[2\left(m-2\right)\right]^2-2\left(m-3\right)=4\left(m-2\right)^2-2m+6\)\(=4\left(m^2-4m+4\right)-2m+6=4m^2-18m+22=8\) \(=4m^2-18m+14\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) Vậy m = 1 hoặc \(m=\dfrac{7}{2}\) là các giá trị cần tìm
Tìm m để phương trình \(x^2+6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\) (\(x_1,x_2\ne0\)). \(m=-2\) \(m=-4\) \(m=2\) \(m=4\) Hướng dẫn giải: Để phương trình \(x^2+6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0 thì: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta'>0\\ac\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\3^2-m>0\\m\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 9\\m\ne0\end{matrix}\right.\) Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\) Ta có \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=3\) \(\Leftrightarrow x_1+x_2=3x_1x_2\) \(\Leftrightarrow-6=3m\) \(\Leftrightarrow m=-2\) (thỏa mãn).
Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2a-1\right)x-4a-3=0\). Tìm GTNN của biểu thức \(A=x^2_1+x_2^2\). minA = -2 khi \(a=-\dfrac{3}{2}\) minA = -3 khi \(a=\dfrac{1}{2}\) minA = 1 khi \(a=\dfrac{3}{2}\) minA = 0 khi \(a=-\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: \(\Delta=\left(2a-1\right)^2-4\left(-4a-4\right)=4a^2-4a+1+16a+16\)\(=4a^2+12a+17=\left(2a+3\right)^2+8>0,\forall a\in R\) Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a thuộc R. Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a+1\\x_1x_2=-4a-3\end{matrix}\right.\). \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2a+1\right)^2-2\left(-4a-3\right)\) \(=4a^2+4a+1+8a+6\)\(=4a^2+12a+7\) \(=\left(2a+3\right)^2-2\)\(\ge-2,\forall a\in R\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A=x^2_1+x_2^2\) bằng -2 khi \(\left(2a+3\right)^2=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{3}{2}\).
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+3\right)x+m^2-8=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho biểu thức \(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\) có giá trị bằng 3. Không có giá trị m thỏa mãn. \(m=3\) \(m=-\dfrac{1}{2}\) \(m=\dfrac{3}{4}\) Hướng dẫn giải: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì : \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\left(m+3\right)^2-\left(m^2-8\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow6m+17>0\)\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{17}{6}\). \(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\)\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\) \(=\left[2\left(m+3\right)\right]^2-2\left(m^2-8\right)-2\left(m+3\right)\) \(=4\left(m^2+6m+9\right)-2m^2+16-2m-3\) \(=2m^2+22m+49=3\) \(\Rightarrow2m^2+22m+46=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-11+\sqrt{29}}{2}\left(l\right)\\m=\dfrac{-11-\sqrt{29}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\) Vậy không có giá trị m thỏa mãn.
Cho phương trình \(2x^2-6x+m+7=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_1=-2x_2\). \(m=-43\) \(m=43\) \(m=30\) \(m=-45\) Hướng dẫn giải: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\ne0\\\left(-3\right)^2-2\left(m+7\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-2m-5>0\)\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{5}{2}\). Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=\dfrac{m+7}{2}\\x_1=-2x_2\end{matrix}\right.\) Xét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1=-2x_2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=6\\x_2=-3\end{matrix}\right.\) Vì \(x_1x_2=\dfrac{m+7}{2}\)\(\Leftrightarrow6.\left(-3\right)=\dfrac{m+7}{2}\)\(\Leftrightarrow m=-43\left(tmđk\right)\) Vậy m = -43.
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho biểu thức \(B=x_1+x_2-2x_1x_2\) đạt giá trị lớn nhất. \(m=\dfrac{1}{2}\) \(m=2\) \(m=\dfrac{1}{3}\) \(m=-\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: Để phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\)có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-\left(m^2-8\right)>0\) \(\Leftrightarrow m^2+8m+16-m^2+8>0\) \(\Leftrightarrow8m+24>0\)\(\Leftrightarrow m>-3\). \(B=x_1+x_2-2x_1x_2\) \(=2\left(m+4\right)-2\left(m^2-8\right)\)\(=-2m^2+2m+24\). Ta thấy: \(B=-2m^2+2m+24=-2\left(m^2-m-12\right)\)\(=-2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}\right]\)\(=-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{49}{2}\) Vì \(-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{49}{2}\le\dfrac{49}{2}\) nên GTLN của B \(=\dfrac{49}{2}\) khi \(-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\). (tm)
Giải phương trình \(\left(x+6\right)^2-4x+7=2\left(x+3\right)^2\) . \(x_1=\dfrac{-2+3\sqrt{6}}{2},x_2=\dfrac{-2-3\sqrt{6}}{2}\) \(x_1=\dfrac{-2+3\sqrt{6}}{4},x_2=\dfrac{-2-3\sqrt{6}}{4}\) \(x_1=\dfrac{-2+\sqrt{6}}{4},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{6}}{4}\) \(x_1=-2+\sqrt{29},x_2=-2-\sqrt{29}\) Hướng dẫn giải: \(\left(x+6\right)^2-4x+7=2\left(x+3\right)^2\) \(\Leftrightarrow2\left(x+3\right)^2-\left(x+6\right)^2+4x-7=0\) \(\Leftrightarrow2\left(x^2+6x+9\right)-\left(x^2+12x+36\right)+4x-7=0\) \(\Leftrightarrow x^2+4x-25=0\) \(\Delta'=2^2-\left(-25\right)=29\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x_1=-2-\sqrt{29},x_2=-2+\sqrt{29}\).
Tìm các nghiệm của phương trình \(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)-x^3+1=0\) . Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{3}\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=3,x_2=-\dfrac{1}{3}\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=-5,x_2=-\dfrac{1}{3}\) Hướng dẫn giải: \(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)-x^3+1=0\) \(\Leftrightarrow x\left(x^2-3x+2\right)-x^3+1=0\) \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2x-x^3+1=0\) \(\Leftrightarrow-3x^2+2x+1=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình \(\dfrac{\left(x+3\right)^2}{6}=\dfrac{x}{3}+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{2}\) . Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{8+\sqrt{58}}{2},x_2=\dfrac{8-\sqrt{58}}{2}\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{3+\sqrt{56}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{56}}{2}\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{2+\sqrt{56}}{2},x_2=\dfrac{2-\sqrt{56}}{2}\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=8+\sqrt{58},x_2=8-\sqrt{58}\). Hướng dẫn giải: \(\dfrac{\left(x+3\right)^2}{6}=\dfrac{x}{3}+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=2x+3\left(x-2\right)^2\) \(\Leftrightarrow x^2+6x+9=2x+3\left(x^2-4x+4\right)\) \(\Leftrightarrow3x^2-12x+12+2x-x^2-6x-9=0\) \(\Leftrightarrow2x^2-16x+3=0\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{8+\sqrt{58}}{2},x_2=\dfrac{8-\sqrt{58}}{2}\).
