Giải phương trình \(4x^4+5x^2-9=0\) . \(x=\pm1\) \(x=-\dfrac{9}{4}\) hoặc \(x=1\) \(x=1\) \(x=-1\) Hướng dẫn giải: \(4x^4+5x^2-9=0\) Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\). Phương trình trở thành: \(4t^2+5t-9=0\) (*) (*) có hai nghiệm phân biệt là: \(\left[{}\begin{matrix}t=1\left(tm\right)\\t=-\dfrac{9}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\). Với \(t=1\) ta có: \(x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\).
Giải phương trình \(\left(x^2-x\right)^2-4\left(x^2-x\right)+3=0\). Phương trình có bốn nghiệm:\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\) , \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). Phương trình có bốn nghiệm:\(x_1=1+\sqrt{13},x_2=1-\sqrt{13}\) , \(x_3=1+\sqrt{5},x_4=1-\sqrt{5}\). Phương trình có bốn nghiệm:\(x_1=\dfrac{7+2\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{7-2\sqrt{2}}{2}\) , \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). Phương trình có bốn nghiệm:\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\) , \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\). Hướng dẫn giải: \(\left(x^2-x\right)^2-4\left(x^2-x\right)+3=0\) Đặt \(x^2-x=t\). Phương trình trở thành: \(t^2-4t+3=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=1\end{matrix}\right.\). Với \(t=3\) ta có \(x^2-x=3\Leftrightarrow x^2-x-3=0\) (*) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\). Với \(t=1\) ta có: \(x^2-x-1=0\) (**) Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). Vậy phương trình có bốn nghiệm:\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\) , \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Giải phương trình \(\left(x^4+4x^2+4\right)-4\left(x^2+2\right)-77=0\). \(x=\pm3\) \(x=3\) \(x=4\) hoặc \(x=-11\) \(x=7\) hoặc \(x=11\) Hướng dẫn giải: \(\left(x^4+4x^2+4\right)-4\left(x^2+2\right)-77=0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2-4\left(x^2+2\right)-77=0\) Đặt \(x^2+2=t\left(t\ge2\right)\). Phương trình trở thành: \(t^2-4t-77=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=11\left(tm\right)\\t=-7\left(l\right)\end{matrix}\right.\). Với \(t=11\) ta có \(x^2+2=11\Leftrightarrow x^2=9\)\(\Leftrightarrow x=\pm3\).
Giải phương trình \(\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{5}{x-3}=\dfrac{5}{x^2-5x+6}\). \(x=\dfrac{1}{2}\) hoặc \(x=5\). \(x=1\) hoặc \(x=2\). \(x=-3\) hoặc \(x=4\) \(x=-2\) hoặc \(x=2\) Hướng dẫn giải: Đkxđ: \(x\ne2,x\ne3\) \(\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{5}{x-3}=\dfrac{5}{x^2-5x+6}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{5}{x-3}=\dfrac{5}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\) \(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)-5\left(x-2\right)-5=0\) \(\Leftrightarrow2x^2-6x-5x+10-5=0\) \(\Leftrightarrow2x^2-11x+5=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\\x=5\left(tm\right)\end{matrix}\right.\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{1}{2},x_2=5.\).
Giải phương trình \(\left(2x^2-3\right)^2-4\left(x-1\right)^2=0\). Phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{11}}{2}\), \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\). Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-2+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2},x_3=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{2}\). Phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{11}}{2},x_3=\dfrac{-2+\sqrt{5}}{2}\), \(x_4=\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{11}}{2}\). Hướng dẫn giải: \(\left(2x^2-3\right)^2-4\left(x-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\left(2x^2-3\right)^2-\left[2\left(x-1\right)\right]^2=0\) \(\Leftrightarrow\left[2x^2-3+2\left(x-1\right)\right]\left[2x^2-3-2\left(x-1\right)\right]=0\) \(\Leftrightarrow\left(2x^2+2x-5\right)\left(2x^2-2x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2+2x-5=0\\2x^2-2x-1=0\end{matrix}\right.\). Giải \(2x^2+2x-5=0\) \(\Delta'=1^2-\left(-5\right).2=11\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x_1=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{11}}{2}\). Giải \(2x^2-2x-1=0\). \(\Delta'=\left(-1\right)^2-2.\left(-1\right)=3\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\). Phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{11}}{2}\), \(x_3=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},x_4=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\).
Cho một số có hai chữ số. Biết rằng tổng của hai chữ số của số đó là 10 và tích của hai chữ số của số đó là 21. Tìm số đó. 37 hoặc 73. 37. 46 hoặc 64. 28 hoặc 82. Hướng dẫn giải: Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) . Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\ab=21\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=10-b\\b\left(10-b\right)=21\end{matrix}\right.\). Giải \(b\left(10-b\right)=21\Leftrightarrow-b^2+10b-21=0\). \(\Delta=5^2-\left(-21\right).\left(-1\right)=4\). \(b_1=\dfrac{-5+\sqrt{4}}{-1}=3,b_2=\dfrac{-5-\sqrt{4}}{2}=7\). Với \(b=3\) ta có \(a=10-b=10-3=7\). Số đó là 37. Với \(b=7\) ta có \(a=10-b=10-7=3\). Số đó là 73.
Một ca nô đi xuôi dòng 45km, rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian ca nô đi xuôi dòng lâu hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6km/h. Biết vận tốc lúc đi ngược dòng lớn hơn 10km/h. Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng. 12km/h 11km/h 15km/h 9km/h Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc lúc đi ngược dòng của ca nô là x(km/h , x > 10) Vận tốc lúc đi xuôi dòng của ca nô là x + 6 (km/h). Thời gian ca nô đi xuôi dòng là \(\dfrac{45}{x+6}\left(h\right)\), thời gian ca nô đi ngược dòng là: \(\dfrac{18}{x}\left(h\right)\). Ta có phương trình : \(\dfrac{45}{x+6}=\dfrac{18}{x}+1\)\(\Leftrightarrow\dfrac{45x}{x\left(x+6\right)}=\dfrac{18\left(x+6\right)}{x\left(x+6\right)}+\dfrac{x\left(x+6\right)}{x\left(x+6\right)}\) \(\Leftrightarrow45x=18\left(x+6\right)+x\left(x+6\right)\) \(\Leftrightarrow x^2-21x+108=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\left(tm\right)\\x=9\left(l\right)\end{matrix}\right.\). Vậy vận tốc lúc ngược dòng của cano là 12 km/h.
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền các bến A 20km/h. Biết rằng ca-nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h. Tính vận tốc của ca-nô. 15km/h 3km/h 16km/h 20km/h Hướng dẫn giải:
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được \(\dfrac{1}{3}\) quãng đường AB, người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Vận tốc dự định: 40km/h và thời gian dự định của người đó là 3 giờ. Vận tốc dự định: 50km/h và thời gian dự định của người đó là 2,4 giờ. Vận tốc dự định: 60km/h và thời gian dự định của người đó là 2 giờ. Vận tốc dự định: 40km/h và thời gian dự định của người đó là 2,6 giờ. Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x > 0) thì thời gian dự định của ô tô là \(\dfrac{120}{x}\left(h\right)\). Thời gian đi \(\dfrac{1}{3}\) quãng đường AB là: \(\dfrac{1}{3}.120:x=\dfrac{40}{x}\left(h\right)\). Quãng đường còn lại dài số km là: \(120-40=80\left(km\right)\). Vận tốc người đó đi trên quãng đường còn lại là: \(x+10\) (km/h). Thời gian người đó đi trên quãng đường còn lại là: \(\dfrac{80}{x+10}\). 24 phút = \(\dfrac{2}{5}\left(h\right)\). Ta có phương trình: \(\dfrac{40}{x}+\dfrac{80}{x+10}=\dfrac{120}{x}-\dfrac{2}{5}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{80}{x+10}-\dfrac{80}{x}=-\dfrac{2}{5}\) \(\Leftrightarrow80.5.x-80.5.\left(x+10\right)=-2x\left(x+10\right)\) \(\Leftrightarrow-2x^2-20x+4000=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=40\left(tm\right)\\x=-50\left(l\right)\end{matrix}\right.\). Vận tốc dự định của người đó là 40km/h và thời gian dự định đi hết quãng đường AB là \(\dfrac{120}{40}=3\left(h\right)\).
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm một lối đi xung quang vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m, diện đất còn lại để trồng là \(4256m^2\). Tính kích thước của khu vườn đó. Chiều dài của hình chữ nhật là 80m, chiều rộng của hình chữ nhật là 60m. Chiều dài của hình chữ nhật là 60m, chiều rộng của hình chữ nhật là 40m. Chiều dài của hình chữ nhật là 70m, chiều rộng của hình chữ nhật là 50m. chiều dài của hình chữ nhật là 100m, chiều rộng của hình chữ nhật là 80m. Hướng dẫn giải: Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(280:2=140\left(m\right)\). Gọi một cạnh của hình chữ nhật là x (m, x < 140) thì một cạnh còn lại của hình chữ nhật là:\(140-x\) \(\left(m\right)\). Do lối đi xung quanh vườn rộng 2m nên các kích thước hình chữ nhật còn lại để trồng trọt là: \(x-4,140-x-4=136-x\). Ta có: \(\left(x-4\right)\left(136-x\right)=4256\) \(\Leftrightarrow x^2-140x+4800=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=60\\x_2=80\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\) Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 80m, chiều rộng của hình chữ nhật là 60m.
