Tam giác ABC có BC=6 ; \(\widehat{ABC}=60^0;\widehat{ACB}=45^0\). Tính độ dài hai cạnh còn lại. \(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1};\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\) \(\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\) \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}};\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) \(\frac{12}{\sqrt{3}+1};\frac{12}{\sqrt{2}+1}\) Hướng dẫn giải: Theo định lí sin : \(\dfrac{AB}{\sin45^0}=\dfrac{AC}{\sin60^0}=\dfrac{BC}{\sin75^0}=\dfrac{6}{\sin75^0}\) Suy ra \(AB=\dfrac{6\sin45^0}{\sin75^0}=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sin75^0},AC=\dfrac{6\sin60^0}{\sin75^0}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sin75^0}\) Còn phải tính \(\sin75^0\). Chú ý rằng với mọi tam giác ABC ta có \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\Rightarrow c\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\). Tương tự \(b\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}\). Suy ra \(c\cos B+b\cos C=a\Rightarrow2R\left(\sin C\cos B+\sin B\cos C\right)=2R\sin A\) \(\Rightarrow\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B\)\(\Rightarrow\sin75^0=\sin60^0\cos45^0+\sin45^0\cos60^0=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) \(\Rightarrow AC=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};AB=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)
Cho một tam giác ABC có đường cao AA' bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy thiết lập một hệ thức giữa sin B và sin C. \(\sin B.\sin C=\frac{1}{3}\) \(\sin B+\sin C=\frac{1}{2}\) \(\sin B.\sin C=\frac{1}{2}\) \(\sin B+\sin C=1\) Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có \(AA'=R\) nên \(BA'=R\cot B;A'C=R\cot C\) \(\Rightarrow BC=R\left(\cot B+\cot C\right)=R.\dfrac{\sin B\cos C+\sin C\cos B}{\sin B.\sin C}=\dfrac{1}{2\sin B.\sin C}\left(b\cos C+c\cos B\right)\) \(=\dfrac{1}{2\sin B\sin C}\left(b.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)=\dfrac{a}{\sin B\sin C}=\dfrac{BC}{2\sin B\sin C}\) Suy ra \(\sin B\sin C=\dfrac{1}{2}\). Chú ý: Trong Lượng giác các em sẽ được học công thức cộng cung \(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y+\sin y\cos x\). Sử dụng công thức này có thể thu gọn phép chứng minh trên như sau: \(\Rightarrow BC=R\left(\cot B+\cot C\right)=R.\dfrac{\sin B\cos C+\sin C\cos B}{\sin B.\sin C}=R.\dfrac{\sin\left(B+C\right)}{2\sin B.\sin C}=\dfrac{R\sin A}{2\sin B\sin C}\) \(\sin B\sin C=\dfrac{R\sin A}{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào đúng? \(\sin120^o=\dfrac{1}{2}\) \(\cos120^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tan120^o=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\cot120^o=\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Vì \(120^0\) bù với \(60^0\) nên \(\sin120^o=\sin60^0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ne\dfrac{1}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc \(\widehat{B}=60^o\). Khẳng định nào sau đây sai ? \(\tan\widehat{B}=\sqrt{3}\) \(\tan\widehat{C}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\sin\widehat{C}=\sqrt{3}\) \(\cos\widehat{C}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Vì \(\sin x\le1,\forall x\) nên "\(\sin\widehat{C}=\sqrt{3}\)" sai.
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây ? \(\sin85^o=\cos15^o\) \(\sin12^o< \sin39^o\) \(\cos75^o>\cos15^o\) \(\tan45^o=\cot45^o\) Hướng dẫn giải: Sử dụng máy tính cầm tay tính hiệu hai vế ta thấy \(\cos75^o-\cos15^o< 0\) nên \(\cos75^o>\cos15^o\) sai.
Cho tam giác ABC vuông tại A và có \(\widehat{B}=46^o\). Hệ thức nào đây là sai ? \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=134^o\) \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC}\right)=90^o\) \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=44^o\) \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=136^o\) Hướng dẫn giải: Dễ thấy \(\left(-\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180^0-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) nên \ \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=180^0-\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=180^0-B=180^0-46^0=134^o\) \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC}\right)=\left(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=180^0-\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=180^0-A=180^0-90^o=90^0\) \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=C=90^0-B=90^0-46^o=44^0\) Vì vậy \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=136^o\) sai.
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB=AC=12cm\). Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GBE bằng: \(12cm^2\) \(24cm^2\) \(30cm^2\) \(6cm^2\) Hướng dẫn giải: Vig G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GE=\dfrac{1}{3}CE\Rightarrow dt_{GBE}=\dfrac{1}{3}dtBCE=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{2}dt_{CAB}\right)=\dfrac{1}{6}.\left(\dfrac{1}{2}12.12\right)=12cm^2\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC =12, AB = 15. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(AM=\dfrac{1}{3}AB\). Tính \(\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}\) . -50 -20 -30 -45 Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)\(=-\dfrac{2}{3}.15.5=-50\).
Trong hệ tọa độ Oxy có \(A\left(1;2\right),B\left(-2;-1\right),C\left(0;1\right)\). Tính giá trị của \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\) . \(-12\) \(12\) \(0\) \(24\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)\) và công thức \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_ux_v+y_uy_v\)
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là 13cm, 14cm, 15cm. Diện tích tam giác ABC là: \(84cm^2\) \(42cm^2\) \(144cm^2\) \(100cm^2\) Hướng dẫn giải: Đùn công thức Hê rông và dùng máy tính cầm tay (MODE COMP) tính \(\dfrac{13+14+15}{2}\) lưu kết quả vào biến D. Tính \(D-13\), lưu kết quả vào biến A, tính \(D-14\) lưu vào B, tính \(D-15\) lưu vào C. Sau đó tính \(\sqrt{ABCD}\) ta thấy kết quả là 84. Vì vậy đáp số đúng là 84 $cm^2$
