Tam giác ABC có ba cạnh là 5cm, 12cm, 13cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. \(6,5cm\) \(7cm\) \(7,5cm\) \(8cm\) Hướng dẫn giải: Ta thấy \(13^2-12^2=\left(13+12\right)\left(13-12\right)=5^2\) suy ra tam giác đã cho là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 5cm và 12cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền nên \(R=\dfrac{13}{2}=6,5cm\)
Một tam giác có ba cạnh là 5cm, 12cm, 13cm. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giâc đó bằng bao nhiêu? 2cm 4cm 3cm 5cm Hướng dẫn giải: Vì \(13^2-12^2=5^2\) suy ra tam giác đã cho là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 5cm và 12cm. Diện tích và nửa chu vi tam giác này là \(S=\dfrac{1}{2}.5.12=30cm^2,p=\dfrac{5+12+13}{2}=15cm\) Suy ra đuwngf tròn nội tiếp tam giác này bằng \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{30cm^2}{15cm}=2cm\)
Cho tam giác ABC với \(A\left(-1;2\right);B\left(2;0\right);C\left(3;4\right)\). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. \(H\left(1;2\right)\) \(H\left(-2;1\right)\) \(H\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)\) \(H\left(3;4\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi điểm \(H\left(x,y\right)\). \(\overrightarrow{AB}\left(3;-2\right),\overrightarrow{AC}\left(4;2\right)\), \(\overrightarrow{HC}\left(3-x;4-y\right),\overrightarrow{HB}\left(2-x;-y\right)\). Do H là trực tâm tam giác ABC nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0\\\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(3-x\right)-2\left(4-y\right)=0\\4\left(2-x\right)+2\left(-y\right)=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\). Vậy \(H\left(1;2\right)\).
Trong hệ tọa độ \(A\left(1;2\right),B\left(-1;3\right),C\left(-2;1\right),D\left(0;-2\right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? Tứ giác ABCD là thang. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Tam giác ABC vuông cân. Tam giác ACD cân. Hướng dẫn giải: Biểu diễn các điểm đã cho trên mặt phẳng tọa độ ta thấy ngay ABCD không phải là hình thang, không phải là hình chữ nhật; tam giác ACD không cân. Vì vậy khẳng định đúng chỉ có thể là " Tam giác ABC vuông cân". Để kiểm tra điều này, từ tọa độ các điểm đã cho ta tính được \(\overrightarrow{AB}\left(-2;1\right),\overrightarrow{BC}\left(-1;-2\right)\) suy ra: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left(-2\right)\left(-1\right)+1.\left(-2\right)=0\Rightarrow AB\perp BC\) và \(AB=BC=\sqrt{5}\). Do đó ABC vuông cân tại B
Cho \(\overrightarrow{a}\left(6;8\right)\), \(\overrightarrow{b}\left(3;4\right)\). Tính cosin của góc của \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\). \(1\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6.3+8.4=50,\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{6^2+8^2}=10,\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) Từ đó \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{50}{10.5}=1\) Cách khác: \(\overrightarrow{a}\left(6;8\right)\), \(\overrightarrow{b}\left(3;4\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}\Rightarrow\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng, \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^0\Rightarrow\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1\)
Cho tam giác ABC, khi đó giá trị của \(\cos B\) bằng biểu thức nào sau đây? \(\sqrt{1-\sin^2B}\) \(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) \(\cos\left(A+C\right)\) Hướng dẫn giải: Từ định lí côsin suy ra \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\) thì ABC là tam giác vuông. Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\) thì ABC là tam giác cân. Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là 5; 7; 8 thì ABC là tam giác có một góc bằng \(60^0\) Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9. Hướng dẫn giải: a) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|^2=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|^2\) \(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)^2=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)^2\Leftrightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow A=90^0\) b) vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vecto \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\) khi và chỉ khi \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=0\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AC}^2=0\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\) \(\Leftrightarrow AB^2-AC^2=0\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow ABC\)là tam giác cân ở A. c) Theo hệ quả định lí côsin ta có \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2.5.8}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\) Khẳng định sai là " Nếu tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a = 21; b = 17; c = 10 thì trung tuyến kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 9". Thật vậy, áp dụng công thức tính trung tuyến \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\) ta có \(m_a^2=\dfrac{2\left(17^2+10^2\right)-21^2}{4}=\dfrac{337}{4}\ne9^2\)
Xét tam giác ABC có các cạnh \(a=\sqrt{6},b=2,c=1+\sqrt{3}\). Kí hiệu \(h_a\)là độ dài đường cao kẻ qua đỉnh A; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng. \(A=45^0,B=60^0,h_a=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},R=\sqrt{2}\) \(A=30^0,B=45^0,h_a=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},R=\sqrt{2}\) \(A=60^0,B=45^0,h_a=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},R=\sqrt{2}\) \(A=60^0,B=45^0,h_a=\sqrt{2},R=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý côsin để tính góc A và góc B. Chú ý rằng \(h_a=c\sin B\) và \(R=\dfrac{b}{2\sin B}\) ta tính được \(h_a\) và R.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(BC=a,CA=b,AB=c\). Biết rằng \(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}=1\). Tính số đo góc A. \(90^0\) \(45^0\) \(30^0\) \(60^0\) Hướng dẫn giải: \(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}=1\Leftrightarrow c\left(c+a\right)+b\left(b+a\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) \(\Leftrightarrow c^2+b^2=a^2+bc\Leftrightarrow b^2+c^2-bc=a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)(áp dụng định lí côsin) \(\Leftrightarrow-bc=-2bc\cos A\Leftrightarrow\cos A=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A=60^0\)
Biết tọa độ hai đỉnh A(1;2) và B(-3;1) và trực tâm H(-2;3) của tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác. \(C\left(-15;25\right)\) \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\) \(C\left(-3;5\right)\) \(C\left(\dfrac{15}{7};-\dfrac{25}{7}\right)\) Hướng dẫn giải: Gọi \(C\left(x;y\right)\) thì \(\overrightarrow{AH}=\left(-3;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(x+3;y-1\right),\overrightarrow{BH}=\left(1;2\right),\overrightarrow{AC}=\left(x-1;y-2\right)\) Từ giả thiết H là trực tâm ABC suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3.\left(x+3\right)+1.\left(y-1\right)=0\\1.\left(x-1\right)+2.\left(y-2\right)=0\end{matrix}\right.\) Giải hệ trên ta được \(x=-\dfrac{15}{7};y=\dfrac{25}{7}\) Đáp số: \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\)
