Cho 3 điểm A(1;2), B(-3;1), \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\) . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác. \(H\left(2;3\right)\) \(H\left(-2;3\right)\) \(C\left(-3;5\right)\) \(C\left(\dfrac{-2}{7};\dfrac{3}{7}\right)\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{18}{7}\right)=\dfrac{6}{7}\left(1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(-\dfrac{22}{7};\dfrac{11}{7}\right)=-\dfrac{11}{7}\left(2;-1\right)\). Hai vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;3\right),\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương, do đó A, B, C không thẳng hàng và là 3 đỉnh của một tam giác. Gọi \(H\left(x;y\right)\) thì \(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y-2\right)\left(-3;1\right),\overrightarrow{BH}=\left(x+3;y-1\right)\) Từ giả thiết H là trực tâm ABC suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right).\dfrac{6}{7}+\left(y-2\right).\dfrac{18}{7}=0\\\left(x+3\right).\left(-\dfrac{22}{7}\right)+\left(y-1\right).\dfrac{11}{7}=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=7\\-2x+y=7\end{matrix}\right.\) Giải hệ trên ta được \(x=-2;y=3\) Đáp số: \(H\left(-2;3\right)\)
Cho tam giác ABC với A(2;4), B(3;1), C(-1;1). Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. \(G\left(1;2\right),H\left(2;2\right),I\left(\dfrac{4}{3};2\right)\) \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right),H\left(2;2\right),I\left(1;2\right)\) \(G\left(2;2\right),H\left(\dfrac{4}{3};2\right),I\left(1;2\right)\) \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right),H\left(1;2\right),I\left(2;2\right)\) Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm ta được ngay \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right)\) vì vậy chỉ còn phải xét hai đáp số: \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right),H\left(2;2\right),I\left(1;2\right)\) và \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right),H\left(1;2\right),I\left(2;2\right)\) Gọi \(I\left(x;y\right)\). I là tâm đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\\\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\) Giải ra được \(x=1;y=2\) suy ra \(I\left(1;2\right)\). Vậy đáp số đúng là \(G\left(\dfrac{4}{3};2\right),H\left(2;2\right),I\left(1;2\right)\)
Cho tam giác ABC với A(-5;6), B(-4;-1), C(4;3). Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) nhỏ nhất. \(M\left(0;-\dfrac{8}{3}\right)\) \(M\left(0;8\right)\) \(M\left(0;-8\right)\) \(M\left(0;\dfrac{8}{3}\right)\) Hướng dẫn giải: Xét \(M\left(0;y\right)\in Oy\). Áp dụng tính chất trọng tâm ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\) trong đó \(G\) là trọng tâm tam giác ABC. Do đó \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\). Như vậy, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) sẽ nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left|\overrightarrow{MG}\right|\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow\)khoảng cách MG nhỏ nhất \(\Leftrightarrow GM\perp Oy\) tại M\(\Leftrightarrow y=y_G\Leftrightarrow y=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{6-1+3}{3}=\dfrac{8}{3}\). Đáp số đúng là \(M\left(0;\dfrac{8}{3}\right)\)
G là trọng tâm tam giác ABC có \(AB=c,BC=a,CA=b\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\) \(a=b\cos C+c\cos B\) \(\sin\left(B+C\right)=\sin B\cos C+\sin C\cos B\) Hướng dẫn giải: Ta đã biết (tính chất của trọng tâm) \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\), do đó nếu \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\)là khẳng định đúng thì \(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow A\equiv C\) vô lý. Vậy khẳng định \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)\) là sai.
Cho tam giác ABC. Biết rằng các vecto \(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\) có tọa độ là \(\overrightarrow{CA}\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{CB}\left(b_1;b_2\right)\). Kí hiệu \(S\) là diện tích tam giác \(CAB\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)\) \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) Hướng dẫn giải: Ta có \(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin C=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\cos^2C}\) và \(\cos C=\dfrac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{CA.CB}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\) nên \(S=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sqrt{1-\left(\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{CA.CB}\right)^2}\)\(=\dfrac{1}{2}CA.CB.\dfrac{\sqrt{CA^2CB^2-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}}{CA.CB}\) \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\) \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) Cách khác: Thử trường hợp \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}=\left(1;0\right),\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{j}=\left(0;-1\right)\) thì \(a_1=1;a_2=0;b_1=0;b_2=-1\)thì tam giác OAB vuông cân tại O với hai cạnh góc vuông bằng 1 nên có \(S=\dfrac{1}{2}\) trong khi đó \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1a_2-b_1b_2\right|=\dfrac{1}{2}\left|0-0\right|=0\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2-a_2b_1\right)=0\) \(S=\dfrac{1}{2}\left(a_1b_2+a_2b_1\right)=0\) \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|=\dfrac{1}{2}\left|1.\left(-1\right)-0.0\right|=\dfrac{1}{2}\) Vì vậy chỉ có \(S=\dfrac{1}{2}\left|a_1b_2-a_2b_1\right|\) là công thức đúng.
