Cho góc \(x\) thỏa mãn điều kiện \(90^0< x< 180^0\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(\sin x< 0\) \(\tan x>0\) \(\cos x< 0\) \(\cot x>0\) Hướng dẫn giải: Các góc tù có sin dương, các tỉ số còn lại âm.
Rút gọn biểu thức \(S=a^2\sin90^0+b^2\cos90^0+c^2\cos180^0\) \(S=a^2+b^2\) \(S=a^2-b^2\) \(S=a^2-c^2\) \(S=c^2+b^2\) Hướng dẫn giải: Có \(\sin90^0=1,\cos90^0=0,\cos180^0=-1\)
Cho \(\cos x=\dfrac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức \(P=3\sin^2x+4\cos^2x\) \(\dfrac{7}{4}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(7\) \(\dfrac{13}{4}\) Hướng dẫn giải: Dùng \(\sin^2x=1-\cos^2x\)
Cho tứ giác ABCD. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau : \(BA^2-CB^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DB}\) \(AB^2-BC^2+DC^2-DA^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\) \(AB^2-CB^2+CD^2-DA^2=2.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DB}\) \(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa tích vô hướng thì \(\left|\overrightarrow{a}\right|^2=\overrightarrow{a}^2\), do đó \(AB^2=BA^2=\overrightarrow{AB}^2;CD^2=DC^2=\overrightarrow{CD}^2;....\) nên \(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=\left(\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{BC}^2\right)+\left(\overrightarrow{CD^2}-\overrightarrow{AD^2}\right)\) \(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)\) \(=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right)\) \(=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD}\right)\) \(=\overrightarrow{AC}\left[\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{BD}\right]\) \(=\overrightarrow{AC}\left[\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}\right]=2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\) Vậy \(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\).
Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hãy tính giá trị của biểu thức \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\). \(a^2\sqrt{2}\) \(-a^2\sqrt{2}\) \(2a^2\) \(-2a^2\) Hướng dẫn giải: Theo quy tắc hiệu ta có \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\). do đó \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\right)\) \(=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}\) \(=\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|.\cos45^0+\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|\) \(=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+a.a=2a^2\) Vậy \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\)\(=2a^2\).
Tìm các giá trị của tham số m để đường tròn (C): \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) đi qua gốc tọa độ O. \(m=-\dfrac{2}{3}\). \(m=-4\). \(m=-2\). \(m=1\). Hướng dẫn giải: Điều kiện cần: Nếu m thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điểm O phải có tọa độ thỏa mãn phương trình \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) , tức là \(3m+2=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{2}{3}\). Điều kiện đủ: Nếu \(m=-\dfrac{2}{3}\) thì phương trình đã cho trở thành \(x^2+y^2-\dfrac{2}{3}x-2.\left(-\dfrac{8}{3}\right)y=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{8}{3}\right)^2=\dfrac{65}{9}\) Phương trình này là phương trình đường tròn (qua gốc O ). Đáp số: \(m=-\dfrac{2}{3}\).
Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}\) \(-a^2\) \(\sqrt{2}a^2\) \(a^2\) \(0\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}\cos135^0=-a^2\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, O là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào trong các khẳng định sau SAI ? \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\) \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD}=\sqrt{2}a^2\) \(\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BD}=\sqrt{2}a^2\) Hướng dẫn giải: O là tâm hình vuông ABCD nên OC vuông góc với BD, do đó \(\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BD}=0\), khẳng định "\(\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BD}=\sqrt{2}a^2\)" sai.
Cho M là trung điểm của AB và AB = 2. Tính \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\) . \(-1\) \(1\) \(2\) \(-2\) Hướng dẫn giải: AB=2 và M là trung điểm AB nên \(MA=MB=1;\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=180^0\)do đó \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=1.1.\cos135^0=-1\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi điểm N thuộc cạnh DC sao cho \(2DN=NC\). Tính \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BN}\). \(\dfrac{7}{9}a^2\) \(-\dfrac{2}{9}a^2\) \(\dfrac{2}{3}a^2\) \(\dfrac{3}{5}a^2\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DN}\). \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}\). Do đó: \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BN}=\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DN}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}\right)\) \(=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DN}.\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DN}.\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}\) \(=a^2+\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.a.a.\left(-1\right)\) \(=\dfrac{7}{9}a^2\).
