Cho hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\left(3;2\right)\) và \(\overrightarrow{v}\left(-2;3\right)\). Tính góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) . \(90^o\) \(45^o\) \(60^o\) \(30^o\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=3.\left(-2\right)+2.3=0\Rightarrow\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\left(2;5\right)\) và \(\overrightarrow{v}\left(-4;-10\right)\). Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là: \(180^o\) \(90^o\) \(45^o\) \(0^o\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{v}\left(-4;-10\right)=-2.\left(2;5\right)=-2\overrightarrow{u}\)suy ra \(\overrightarrow{v}\)ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\), do đó \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180^0\)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(A\left(2;3\right)\), điểm B là điểm đối xứng với điểm A qua trục Ox. Tìm tọa độ điểm C thuộc Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C. \(C\left(-1;0\right)\) và \(C\left(5;0\right)\) \(C\left(-1;0\right)\) và \(C\left(-5;0\right)\) \(C\left(0;-1\right)\) và \(C\left(0;5\right)\) \(C\left(2;1\right)\) và \(C\left(3;4\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có \(B\left(2;-3\right)\). Điểm C thuộc trục Ox nên C(x;0). Tam giác ABC vuông tại C nên \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\). \(\overrightarrow{CA}\left(2-x,3\right),\overrightarrow{CB}\left(2-x,-3\right)\). Vì vậy: \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left(2-x\right)^2-9=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-x=3\\2-x=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=5\end{matrix}\right.\). Vậy có hai có điểm \(C\left(-1;0\right)\) và \(C\left(5;0\right)\).
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng và đều khác véc tơ \(\overrightarrow{0}\). Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-1\) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng và đều khác véc tơ \(\overrightarrow{0}\) nên \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\cos0=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\)
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \(A\left(7;-3\right),B\left(8;4\right),C\left(1;5\right),D\left(0;-2\right)\). Chọn mệnh đề SAI trong các mệnh đề dưới đây: Tứ giác ABCD là hình vuông \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=50\). \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=90^o\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=50\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: \(A\left(7;-3\right),B\left(8;4\right),C\left(1;5\right),D\left(0;-2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(1;7\right),\overrightarrow{CA}=\left(6;-8\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=1.6+7.\left(-8\right)=-50\)Vì vậy \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=50\sqrt{2}\) là mệnh đề sai.
Cho hình vuông ABCD có \(AB=12\). Điểm I thuộc cạnh AC sao cho \(2CI=AC\). Tính \(\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD}\) ? \(72\) \(144\) \(72\sqrt{2}\) \(36\) Hướng dẫn giải: \(AC=\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2}\). \(CI=\dfrac{1}{2}AC=6\sqrt{2}\). \(\left(\overrightarrow{IC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD}\right)=45^o\). Suy ra \(\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD}=6\sqrt{2}.12.\cos45^o=72\).
Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, CB = 5. Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) \(5^2\) \(9^2\) \(5^2+9^2\) \(-9^2\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=AB.AC.\dfrac{AC}{AB}=AC^2=9^2\)
Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2\right),\overrightarrow{v}=\left(-1;-3\right)\) \(60^0\) \(30^0\) \(45^0\) \(135^0\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}\)
Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right),\overrightarrow{v}=\left(4;3\right)\) \(60^0\) \(30^0\) \(90^0\) \(120^0\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}\)
Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow{u}=\left(2;5\right),\overrightarrow{v}=\left(3;-7\right)\) \(60^0\) \(30^0\) \(135^0\) \(120^0\) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}\)
