Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;4), B(1;1). Tìm tọa độ của các điểm C sao cho ABC là tam giác vuông cân tại B. \(C\left(4;0\right)\) \(C\left(-2;2\right)\) \(C\left(-2;2\right)\) và \(C\left(4;0\right)\) \(C\left(3;-1\right)\) Hướng dẫn giải: \(C\left(x;y\right)\). Ta có hệ phương trình
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AC = 11, AB = 6, BC =8. Gọi H là trực tâm tam giác và M là trung điểm cạnh BC. Tính \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=12\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=16\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=22\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=-16\) Hướng dẫn giải: Do M là trung điểm của đoạn BC nên \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\) Vì thế \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\left(-\overrightarrow{AM}\right)\left(-\overrightarrow{HM}\right)=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\) Vì H là trực tâm nên \(HC\perp AB,HB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0\), do đó \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)\) Mà \(\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}\) . Tương tự \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\) Do đó \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\right)=\) \(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{4}CB^2=\dfrac{1}{4}.8^2=16\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(-1;-1), B(3;1), C(6;0). Tính góc \(\widehat{ABC}\) \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) \(135^0\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết về tọa độ A, B, C suy ra \(\overrightarrow{BA}=\left(-4;-2\right),\overrightarrow{BC}=\left(3;-1\right)\) suy ra \(\cos B=\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\dfrac{\left(-4\right).3+\left(-2\right)\left(-1\right)}{\sqrt{16+4}\sqrt{9+1}}=\dfrac{-10}{\sqrt{200}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos135^0\) Vậy \(\widehat{ABC}=135^0\)
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC cạnh a. Khẳng định nào trong các khẳng định sau sai ? \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}a^2\) \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}a^2\) \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\dfrac{1}{6}a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}a^2\) Hướng dẫn giải: \(\left|\overrightarrow{GA}\right|=\left|\overrightarrow{GB}\right|=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{3}},\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=120^0\)suy ra \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\dfrac{a}{\sqrt{3}}\cos120^0=-\dfrac{1}{6}a^2\) Do đó \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\dfrac{1}{6}a^2\) sai.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng? \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2},\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=45^0\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a\sqrt{2}.\cos45^0=a^2\)suy ra \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2\) đúng.
Cho hai vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) (khác \(\overrightarrow{0}\)) thỏa mãn \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) ngược hướng \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\) Hướng dẫn giải: \(\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{-\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}{\text{}\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}=-1\Rightarrow\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=180^0\)nên \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) ngược hướng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=3a. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng? \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=-a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{3}{2}a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=a^2\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}^2\). Mà \(A=90^0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CA}\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0\)do đó \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=0+\overrightarrow{AB}^2=a^2\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(1;1), B(2;4), C(10;-2). Tính \(\cos C\) \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\) \(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\) \(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) \(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{CA}=\left(-9;3\right),\overrightarrow{CB}=\left(-8;6\right)\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=90,\left|\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{90},\left|\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{100}\). Do đó \(\cos C=\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{90}{\sqrt{90}.\sqrt{100}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. Hãy khai triển vecto \(\overrightarrow{AH}\) qua hai vecto \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{c}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\) (do M là trung điểm BC) \(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\right)-\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\)
Cho ABC là tam giác vuông đỉnh A. Hãy lập một hệ thưc giữa 3 đường trung tuyến AD, BE, CF của tam giác ABC. \(2BE^2+3CF^2=5AD^2\) \(3CF^2+2BE^2=5AD^2\) \(CF^2+BE^2=5AD^2\) \(CF^2+BE^2=3AD^2\) Hướng dẫn giải: Vì trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền nên \(2AD=BC\) . Hơn nữa, theo Pitago thì \(BE^2=AB^2+AE^2=AB^2+\frac{AC^2}{4}\) \(CF^2=AC^2+AF^2=AC^2+\frac{AB^2}{4}\) Cộng theo vế ta được : \(BE^2+CF^2=\frac{5}{4}\left(AB^2+AC^2\right)=\frac{5}{4}BC^2=\frac{5}{4}4AD^2=5AD^2\) Vậy ba trung tuyến của tam giác vuông ABC (vuông tại A) liên hệ với nhau bởi \(BE^2+CF^2=5AD^2\).
