Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và diện tích \(S=\frac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\). Tam giác ABC là tam giác gì? Tam giác cân tại A. Tam giác đều. Tam giác vuông tại A. Tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Gọi p là nửa chu vi thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\) và \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (công thức Hê rông) Mặt khác, theo giả thiết có: \(S=\frac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=\frac{1}{4}.2\left(p-c\right).2\left(p-b\right)=\left(p-b\right)\left(p-c\right)\) Suy ra \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\left(p-b\right)\left(p-c\right)\) \(\Rightarrow\left(p-b\right)^2.\left(p-c\right)^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\) \(\Leftrightarrow\left(p-b\right)\left(p-c\right)=p\left(p-a\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+c-a\right)\) hay \(a^2=b^2+c^2\) . Tam giác ABC vuông ở A.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(AC=b;BC=a\) , góc giữa cạnh BC và đường cao BB' là \(\widehat{CBB'}=\alpha\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCtheo a, b và \(\alpha\). \(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}\) \(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}{2\cos\alpha}\) \(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\sin\alpha}}{2\cos\alpha}\) \(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\sin\alpha}}{2\sin\alpha}\) Hướng dẫn giải: Theo định lý cosin ta có \(AB^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\) \(=a^2+b^2-2ab.\cos\left(90^0-\alpha\right)\) \(=a^2+b^2-2ab.\sin\alpha\) Theo định lý sin : \(R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\sin\alpha}}{2\sin\left(90^0-\alpha\right)}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\sin\alpha}}{2\cos\alpha}\)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng AB, lấy 1 điểm M tùy ý nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ một cát tuyến tùy ý cắt đường tròn tại C và D. Các dây AD và BC cắt nhau tại N. Biểu thức \(\overline{AN}.\overline{AD}+\overline{BN}.\overline{BC}\) có giá trị không đổi khi cát tuyến MCD quay quanh M. Hãy tính giá trị không đổi đó. \(2R^2\) \(3R^2\) \(4R^2\) \(8R^2\) Hướng dẫn giải: Từ N hạ NH vuông góc với AB, ta có: \(\overline{AN}.\overline{AD}=\overline{AH}.\overline{AB}\) (do NHBDlà tứ giác nội tiếp) \(\overline{BN}.\overline{BC}=\overline{BH}.\overline{BA}=\overline{HB}.\overline{AB}\) (do CAHN là tứ giác nội tiếp) Cộng theo vế ta được : \(\overline{AN}.\overline{AD}+\overline{BN}.\overline{BC}=\overline{AB}\left(\overline{AH}+\overline{HB}\right)=\overline{AB^2}=4R^2\)
Cho một tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^0;AB=6cm;AC=8cm\). Tính độ dài cạnh BC . \(\sqrt{13}cm\) \(2\sqrt{13}cm\) \(3\sqrt{13}cm\) \(4\sqrt{13}cm\) Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có \(\widehat{A}=60^0;AB=6cm;AC=8cm\) . Áp dụng định lý cosin ta được \(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos\widehat{A}\) \(=36+84-2.6.8.\frac{1}{2}=100-48=52=4.13\) \(\Rightarrow BC=2\sqrt{13}\) cm
Cho một tam giác ABC có 3 cạnh là 3cm, 5cm, 7cm. Tính số đo bằng độ của góc lớn nhất của tam giác. \(110^0\) \(115^0\) \(120^0\) \(135^0\) Hướng dẫn giải: Giả sử AB = 3cm, AC=5cm, BC = 7cm. Cạnh lớn nhất là BC nên góc A lớn nhất. Theo định lý cosin: \(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2.3.5}=-\frac{15}{2.15}=-\frac{1}{2}=\cos120^0\) \(\Rightarrow A=120^0\)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B biết rằng \(b^2+c^2=2a^2\) . \(\frac{c\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{c\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{c\sqrt{3}}{5}\) \(\dfrac{c\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Từ công thức \(m_b^2=\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\) Thay \(2a^2=b^2+c^2\) (theo giả thiết) ta được \(m_b^2=\frac{b^2+c^2+2c^2-b^2}{4}=\frac{3c^2}{4}\) \(\Rightarrow m_b=\frac{c\sqrt{3}}{2}\) .
Tính độ dài cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết hai đường cao AH và BK có độ dài lần lượt bằng 20cm và 24 cm. 28cm 30cm 32cm 34cm Hướng dẫn giải: Đặt \(HC=\frac{1}{2}BC=x\) Tam giác vuông HAC cho : \(AC^2=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{20^2+x^2}=\sqrt{400+x^2}\) Trong tam giác ABC có hệ thức : \(AH.BC=AC.BK\) \(\left(=2S_{ABC}\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(20.2x=24.\sqrt{400+x^2}\) \(\Leftrightarrow5x=3\sqrt{400+x^2}\) \(\Leftrightarrow25x^2=3600+9x^2\) \(\Leftrightarrow x^2=225\) \(\Leftrightarrow x=15\) \(\Rightarrow BC=2x=30cm\)
Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC có \(AB=2cm;AC=3cm;BC=4cm\). \(\frac{\sqrt{29}}{2}cm\) \(\frac{\sqrt{30}}{2}cm\) \(\frac{\sqrt{31}}{2}cm\) \(\frac{\sqrt{32}}{2}cm\) Hãy chọn kết quả đúng ? Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến và giả thiết ta có \(m_b^2=\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}=\frac{2\left(4^2+2^2\right)-3^2}{4}=\frac{31}{4}\) \(\Rightarrow m_b=\dfrac{\sqrt{31}}{2}\) (cm)
Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có \(AB=\left(\sqrt{3}+1\right);AC=2;BC=\sqrt{6}\). \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Theo định lý cosin ta có \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}\)\(=\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2+2^2-6}{2\left(\sqrt{3}+1\right).2}=\dfrac{1}{2}\) suy ra \(A=60^0\) Lại áp dụng định lý sin ta có \(R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{\sqrt{6}}{2.\sin60^0}=\sqrt{2}\)
Cho một tam giác ABC có trung tuyến BM = 6, trung tuyến CN = 9. Hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng \(120^0\). Hãy tính độ dài cạnh AB. \(2\sqrt{13}\) \(3\sqrt{13}\) \(4\sqrt{13}\) \(5\sqrt{13}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(BM=6\Rightarrow BG=4\) ; \(CN=9\Rightarrow GN=3\) \(\Rightarrow\widehat{BGC}=120^0\Rightarrow\widehat{BGN}=60^0\) Trong tam giác GBN ta có \(BN^2=BG^2+GN^2-2BG.GN.\cos\widehat{BGN}\)\(=4^2+3^2-2.4.3.cos120^0\) \(\Rightarrow BN=\sqrt{13}\) Do đó \(AB=2\sqrt{13}\)
