Tam giác ABC có \(a=\sqrt{3}cm,b=\sqrt{2}cm,c=1cm\). Tính độ dài đường trung tuyến \(m_a\). 1cm 1,5cm \(\sqrt{3}\)cm 2,5cm Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức \(m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\)
Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \(R=4cm\) \(13cm^2\) \(13\sqrt{2}cm^2\) \(12\sqrt{3}cm^2\) \(15cm^2\) Hướng dẫn giải: Gọi a, \(h_a,S\) lần lượt là độ dài cạnh, đường cao và diện tích tam giác đều . Ta đã biết: \(R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=R\sqrt{3}\) và \(S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}\) Với \(R=4cm\) thì \(S=12\sqrt{3}cm^2\)
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng a. \(\dfrac{a}{2}\) \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\) \(\dfrac{a}{2+\sqrt{2}}\) \(\dfrac{a}{3}\) Hướng dẫn giải: Cạnh huyền = \(a\sqrt{2}\), diện tích \(S=\dfrac{1}{2}a^2\), chu vi \(2p=a+a+a\sqrt{2}=a\left(2+\sqrt{2}\right)\)Bán kính đường tròn nội tiếp \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{1}{2}a^2:\dfrac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}=\dfrac{a}{2+\sqrt{2}}\)
Tính số đo góc C của tam giác ABC biết rằng các cạnh của nó thỏa mãn điều kiện \(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=3ab\) \(120^0\) \(30^0\) \(45^0\) \(60^0\) Hướng dẫn giải: \(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=3ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-c^2=3ab\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=ab\) , do đó \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{ab}{2ab}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow C=60^0\)
Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) \(R=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\) \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\) Hướng dẫn giải: Đường cao tam giác đều cạnh a là \(h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Bán kỉnh đường tròn ngoại tiếp tam giác đều bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường cao, tức là \(R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a. \(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{5}\) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) \(\dfrac{a\sqrt{5}}{7}\) Hướng dẫn giải: Bán kính đường tròn nôi tiếp tam giác đều bằng \(\dfrac{1}{3}\) độ dài đường cao tam giác đó. Do đó \(r=\dfrac{1}{3}h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng bao nhiêu? \(60^0\) \(90^0\) \(120^0\) \(150^0\) Hướng dẫn giải: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\le\dfrac{1}{2}ab\). Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin C=1\Leftrightarrow C=90^0\)
Cho tam giác ABC có diện tích \(S\). Nếu tăng độ dài mỗi cạnh BC và AC lên hai lần đồng thời giữ nguyên độ lớn góc C thì diện tích của tam giác mới được tạo nên là bao nhiêu? \(2S\) \(3S\) \(4S\) \(5S\) Hướng dẫn giải: Tam giác mới tạo thành A'B'C' có \(B'C'=2BC;A'C'=2AC;\widehat{C'}=\widehat{C}\) và có diện tích \(S'=\dfrac{1}{2}B'C'.C'A'.\sin C'=\dfrac{1}{2}.2BC.2CA.\sin C=4S\)
Hai đường tròn (C) tâm O, bán kính R và (C') tâm \(O_1\), bán kính \(\frac{R}{2}\) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi B là điểm trên đường tròn (C) sao cho \(AB=R\). Tính khoảng cách \(BO_1\) . \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{R\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{R\sqrt{7}}{2}\) \(\frac{3R}{2}\) Hướng dẫn giải: AB cắt \(\left(C_1\right)\) tại \(B_1\). Từ giả thiết \(OA=AB=R\) suy ra ABO là tam giác đều, do đó \(\widehat{O_1AB_1=60^0}\), tam giác cân \(O_1AB_1\) là tam giác đều, \(AB_1=O_1A=\dfrac{R}{2}\Rightarrow BB_1=\dfrac{3R}{2}\). Phương tích của điểm B đối với đường tròn \(\left(O_1\right)\) là \(BO_1^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2=BA.BB_1=R.\dfrac{3R}{2}\) \(\Rightarrow BO_1^2=\frac{3R^2}{2}+\frac{R^2}{4}=\frac{7R^2}{4}\Rightarrow BO_1=\frac{R\sqrt{7}}{2}\) Vậy \(BO_1=\dfrac{R\sqrt{7}}{2}\).
Cho tam giác ABC có \(AB=c;BC=a;AC=b\) thỏa hệ thức \(a^2+b^2=5c^2\). Tính góc giữa hai trung tuyến AM và BN của tam giác. \(30^0\) \(60^0\) \(90^0\) \(45^0\) Hướng dẫn giải: AM cắt BN tại trọng tâm G và \(GM=\frac{AM}{3};GN=\frac{BN}{3}\). Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến, ta có: \(AM^2=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{2}\Rightarrow GM^2=\frac{b^2+c^2-\frac{a^2}{2}}{18}\) và \(BN^2=\frac{a^2+c^2-\frac{b^2}{2}}{2}\Rightarrow GN^2=\frac{a^2+c^2-\frac{b^2}{2}}{18}\). Do đó \(GM^2+GN^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)+2c^2-\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)}{18}=\frac{5c^2+2c^2-\frac{5c^2}{2}}{18}=\frac{c^2}{4}=MN^2\) \(\Rightarrow\) Tam giác GMN vuông tại G và góc giữa hai trung tuyến AM và BN là \(90^0\).
