Cho tam giác ABC có \(A\left(-2,3\right),B\left(-3;4\right)\) và trọng tâm \(G\left(-2;2\right)\). Tọa độ điểm C là: \(C\left(-1;-1\right)\) \(C\left(-\dfrac{7}{4};-3\right)\) \(C\left(1;1\right)\) \(C\left(2;3\right)\) Hướng dẫn giải: Từ công thức tọa độ trọng tâm suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-\left(x_A+x_B\right)\\y_C=3y_G-\left(y_A+y_B\right)\end{matrix}\right.\)
Cho hình bình hành ABCD có \(A\left(-2;-3\right)\) , \(O\left(2;3\right)\) là giao điểm của hai đường chéo, \(M\left(1;-2\right)\) là trung điểm của cạnh AD. Tọa độ của điểm D là: \(D\left(8;19\right)\) \(D\left(5;2\right)\) \(D\left(-2;-3\right)\) \(D\left(4;5\right)\) Hướng dẫn giải: Do O là trung điểm của AC nên \(C\left(6;9\right)\). \(\overrightarrow{MO}\left(-1;-5\right)\). Có MO là đường trung bình của tam giác ADC nên \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MO}\). Gọi \(D\left(x,y\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}\left(6-x;9-y\right)\). Suy ra \(\left(6-x;9-y\right)=2\left(-1;-5\right)=\left(-2;-10\right)\). Vì vậy \(\left\{{}\begin{matrix}6-x=-2\\9-y=-10\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=19\end{matrix}\right.\). Vậy \(D\left(8;19\right)\).
Trong hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình vuông ABCD có gốc \(O\) là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây đúng ? \(\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=AB\). \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng. \(x_A=-x_C\) và \(y_A=y_C\). \(x_B=-x_C\) và \(y_C=-y_B\). Hướng dẫn giải: Tam giác OAB vuông cân ở O có trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền AB, vì vậy \(\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=AB\)
Khẳng định nào trong số các khẳng định sau là đúng ? Hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\left(-2;-4\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(-1;-2\right)\) là hai véc tơ cùng hướng. Véc tơ \(\overrightarrow{c}\left(-3;-1\right)\) có véc tơ đối là véc tơ \(\overrightarrow{d}\left(1;3\right)\). Hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\left(0;2\right)\) và \(\overrightarrow{v}\left(2;0\right)\) cùng phương. Hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\left(6;2\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(3;1\right)\) ngược hướng. Hướng dẫn giải: Nếu \(\overrightarrow{a}\left(-2;-4\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(-1;-2\right)\) thì \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}\)nên \(\overrightarrow{a}\left(-2;-4\right)\) và \(\overrightarrow{b}\left(-1;-2\right)\) cùng hướng.
Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Gọi các số m, n sao cho \(\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}\) . Giá trị của m, n là: \(m=-\dfrac{1}{2},n=\dfrac{1}{2}\) \(m=\dfrac{1}{2},n=\dfrac{1}{2}\) \(m=0,n=\dfrac{1}{2}\) \(m=-\dfrac{1}{2},n=-\dfrac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\). Vậy \(m=-\dfrac{1}{2},n=\dfrac{1}{2}\).
Cho \(\overrightarrow{a}=\left(5;6\right),\overrightarrow{b}=\left(-3;-1\right)\). Tìm tọa độ vecto \(\overrightarrow{u}\) thỏa mãn phương trình \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{u}\) (-15;18) (6;5) (12;17) (-8;-7) Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{u}\Leftrightarrow2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{a}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}=\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{a}=\left(-3;-1\right)+3.\left(5;6\right)=\left(-3;-1\right)+\left(15;18\right)=\left(12;17\right)\)
Cho \(\overrightarrow{u}=\left(3;-2\right),\overrightarrow{v}=\left(4;0\right),\overrightarrow{w}=\left(3;2\right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng? \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{w}\) \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{w}\) \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{w}\) \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{w}\) Hướng dẫn giải: \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=2.\left(3;-2\right)-3.\left(4;0\right)=\left(6;-4\right)-\left(12;0\right)=\left(-6;-4\right)=-2.\left(3;2\right)=-2\overrightarrow{w}\)
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M có tính chất là \(2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\text{}\text{}\right)=3\text{}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\) có số phần tử là 0 1 2 Vô số Hướng dẫn giải: Ta có \(2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\text{}\text{}\right)=3\text{}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}=\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\) (*) Gọi E là trung điểm BC. Theo tính chất trung điểm ta có \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{ME}\) nên (*)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{ME}\Leftrightarrow\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ME}\Leftrightarrow\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow E\equiv A\) vô lý. Vậy không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện đã nếu.
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M có tính chất là \(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) có số phần tử là 0 1 2 Vô số Hướng dẫn giải: Gọi E là trung điểm BC và G là troingj tâm tam giác ABC. Theo tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm ta có \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{ME}\) và \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\), do đó điều kiện đã nêu có thể viết lại thành \(2\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|2\overrightarrow{ME}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}\right|=\left|\overrightarrow{ME}\right|\Leftrightarrow MG=ME\) Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện này là đường trung trực của đoạn GE. Có vô số điểm M thỏa mãn.
Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng? \(\overrightarrow{OH}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OG}\) \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\) \(\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH}\) \(\overrightarrow{OG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OH}\) Hướng dẫn giải: Với các kí hiệu như hình vẽ ta thấy AC'BH là hình bình hành, OM là đường trung bnhf tam giác CC'B nên \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{C'B}\right|=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}\)\(\Rightarrow\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}\)\(\Rightarrow\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=-2\overrightarrow{OG}\Rightarrow\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)
