Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vecto (khác vecto không) với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác? 2 3 5 6 Hướng dẫn giải: Đó là các vecto: \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}\)
Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai? \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) \(\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\) \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}\) \(\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}\) sai vì đúng ra là \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}\)
Kí hiệu M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Khẳng định nào sau đây không đúng? \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\) \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\) \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NQ}\) \(\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{PQ}\right|\) Hướng dẫn giải:
Cho tam giác đều ABC. Khẳng định nào sau đây sai? \(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\) không cùng phương \(\overrightarrow{AC}\ne\overrightarrow{BC}\) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
Cho hình bình hành ABCD: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=?\) \(\overrightarrow{DB}\) \(\overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{CA}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}\)
Cho hình bình hành ABCD: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=?\) \(\overrightarrow{DB}\) \(\overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{CA}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\) (qui tắc trừ hai vectơ có chung điểm đầu)
Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\). So sánh độ dài, phương và hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ? \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng độ dài nhưng hướng ngược nhau \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng độ dài và phương cũng khác nhau \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng độ dài và có cùng hướng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có độ dài khác nhau nhưng hướng ngược nhau Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) là hai vecto đối nhau, do đó \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng phương và cùng độ dài.
Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow{0}\). Hỏi với điều kiện nào thì xảy ra đẳng thức độ dài sau: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\) Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng hướng Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có hướng ngược nhau Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng phương Khi giá của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau Hướng dẫn giải: Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có phương khác nhau thì ta luôn có: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|< \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\) (bất đẳng thức tam giác) Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng nhau thì: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|< \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\) Và khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng thì: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\)
Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow{0}\). Hỏi khi nào ta có đẳng thức độ dài sau: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng hướng Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có hướng ngược nhau Khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có cùng phương Khi giá của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau Hướng dẫn giải: Vẽ hình bình hành ABCD có 2 cạnh liên tiếp là \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) như hình vẽ sau: Khi đó: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\) Vậy để \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\) thì \(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|\), Hay là AC = DB, có nghĩa là hai đường chéo của hình bình hành phải bằng nhau. Suy ra hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. Khi đó giá của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau.
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) ? 0 a \(a\sqrt{3}\) 2a Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\) Trên phần kéo dài tia CB lấy D sao cho DB = BC. Khi đó: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\) Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và bằng AD. Tam giác BAD cân tại A và góc B = $120^o$. Suy ra góc D = góc A = $30^o$. Đường cao BH = a/2 (cạnh góc vuông đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền) Suy ra \(DH=\sqrt{DB^2-HB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\) Vậy DB = 2 DH = \(\sqrt{3}a\)
