Cho tứ giác ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\). Khẳng định " \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\) " đúng.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(AB=3cm,BC=5cm,CA=4cm\). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy tính độ dài vecto \(\overrightarrow{AM}\). 7cm 3,5cm 2,5cm \(\sqrt{3}cm\) Hướng dẫn giải: Vì \(3^2+4^2=5^2\) nên theo định lý Pitago, tam giác ABC vuông ở A. Như vậy AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền, do đó \(AM=\dfrac{1}{2}.BC=\dfrac{1}{2}.5cm=2,5cm\) . Vì vậy vecto \(\overrightarrow{AM}\) có độ dài bằng 2,5cm.
Cho tam giác ABC có \(BA=BC=\sqrt{3}cm\) và \(\widehat{ABC}=120^0\) . Tính độ dài vecto \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\). 1 cm 3 cm 5 cm \(2\sqrt{3}cm\) Hướng dẫn giải: Theo quy tắc hiệu, \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow\left|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\). Gọi H là trung điểm cạnh AC thì BH là đường cao của tam giác cân đã cho. Tam giác vuông BCH là nửa tam giác đều cạnh BC nên CH là đường cao tam giác đều cạnh BC, do đó \(AC=2CH=2.\dfrac{\sqrt{3}BC}{2}=\sqrt{3}\sqrt{3}=3cm\). Vì vậy đáp án đúng là 3 cm.
Cho tam giác đều ABC cạnh 1cm. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}\). 2cm \(\sqrt{5}cm\) \(\sqrt{3}cm\) 3cm Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\). Dựng điểm D sao cho \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\) thì C là trung điểm đoạn AD và \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}\)\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD\) Dễ thấy tam giác ABD vuông tại B và có \(BA=1cm,AD=2cm\) nên \(BD=\sqrt{2^2-1^2}-\sqrt{3}\left(cm\right)\) . Đáp số: \(\sqrt{3}cm\)
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây đủng? M là trung điểm BC. M là trung điểm AB. M là trung điểm AC. MBAC là hình bình hành. Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\) nên MBAC là hình bình hành (quy tắc hình bình hành).
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Mệnh đề nào sau đây đúng? M là trọng tâm tam giác ABC. M là trung điểm AB. ABMC là hình bình hành. ABCM là hình bình hành. Hướng dẫn giải: Từ điều kiện đã cho suy ra \(\overrightarrow{MB}\) là vecto tổng của hai vecto \(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}\) neeb ABMC là hình bình hành.
Cho sáu điểm phân biệt A,B,C,D,E,F. Mệnh đề nào sau đây sai? \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{0}\). \(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{0}\). \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\). \(\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{FA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}\right)=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF}=\left(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BF}\right)+\left(\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CE}\right)=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\right)+\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{FE}\right)+\overrightarrow{DF}\) \(=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\right)+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\). Vì vậy mệnh đề sai chỉ có thể là \(\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}\) . Có thể kiểm tra điều này như sau: \(\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\left(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}\right)+\overrightarrow{AC}\) \(=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}=\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}\right)+2\overrightarrow{FC}\ne\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF}\)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây sai? \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IA}\). \(\overrightarrow{CJ}\) và \(\overrightarrow{JB}\) đều là vecto đối của vecto \(\overrightarrow{IK}\). Trong ba vecto \(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AK},\overrightarrow{KC}\) có ít nhất hai vecto đối nhau. \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{0}\). Hướng dẫn giải: Ta thấy \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KC}\ne\overrightarrow{0}\) nên trong ba vecto \(\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AK},\overrightarrow{KC}\) không có hai vecto nào là vecto đối của nhau.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|\). 0. a. a\(\sqrt{2}\). 2a. Hướng dẫn giải: Có \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) nên \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\)a\(\sqrt{2}\).
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD = 2a. Gọi M và N là trung điểm AD và BC. Tính \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}\right|\). 0,5a. a. 2a. 1,5a. Hướng dẫn giải: Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là điểm trên cạnh DC sao cho NF song song với AD. Vì MN là đường trung bình của hình thang nên ME cũng là đường trung bình của tam giác ADC, ME là trung tuyến của tam giác MAC, do đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{DC}\). Hình MNFD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DF}\) , từ đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{FC}\) và \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}\right|=FC\). Tính FC: Gọi I là trung điểm của đáy DC. Từ giả thiết suy ra DI = a =AB , do đó BI // AD // NF , vì vậy NF là đường trung bình của tam giác CBI, F là trung điểm IC, do đó FC = 0,5 IC = 0,5a. Đáp số: 0,5a.
