Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng? \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=a\sqrt{3}\). \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=a\). \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=0\). Hướng dẫn giải: Ta có \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\), trong đó ABDC là hình bình hành. Ta thấy hình bình hành ABCD có ABC là tam giác đều nên ABCD còn là hình thoi, đường chéo AD gấp đôi đường cao tam giác đều ABC. Vậy AD = \(a\sqrt{3}\). Đáp số: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=a\sqrt{3}\)
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho: \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\) K là trung điểm của AB K nằm trên đoạn AB và \(\frac{KA}{KB}=\frac{2}{3}\) K nằm trên đoạn AB và \(\frac{KA}{KB}=\frac{3}{2}\) K trùng với A hoặc B Hướng dẫn giải: Từ \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\) suy ra: \(\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\). Suy ra \(\overrightarrow{KA}\) và \(\overrightarrow{KB}\) cùng phương và ngược hướng. Vậy K, A, B thẳng hàng và K nằm giữa A và B. Thêm nữa độ dài KA = 2/3 độ dài KB. Vậy \(\frac{KA}{KB}=\frac{2}{3}\)
Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC, AC, AB. Hãy tính tổng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) theo \(\overrightarrow{MG}\). \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MG}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{MG}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MG}\) Hướng dẫn giải: Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ). Do ABC là tam giác đều nên các tam giác MB2C2; MA2C1; MB1A1 cũng là tam giác đều. Trong tam giác MB2C2 có MD là đường cao nên cũng là trung tuyến. Suy ra D là trung điểm của B2C2. Vậy: \(\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_2}\right)\) Tương tự ta có: \(\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MC_1}\right)\) \(\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MB_1}\right)\) Cộng 3 đẳng thức trên và nhóm lại các số hạng bên vế phải ta được: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\right)\) Theo qui tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}=\overrightarrow{MA}\) ; \(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}=\overrightarrow{MB}\) ; \(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}=\overrightarrow{MC}\) Vậy \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\) Mặt khác, vì G là trọng tâm tam giác ABC ta có: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\) Suy ra: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}\)
Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Biết rằng \(MN=4cm\) Tính độ dài vecto \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) 1cm 5cm 12cm 16cm Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}\) (do N là trung điểm của DC) \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BN}\) (do N là trung điểm của DC) Suy ra \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}\right)\) \(=-2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\right)\) \(=-2\left(2.\overrightarrow{NM}\right)\) \(=4.\overrightarrow{MN}\) Do đó \(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right|=4.\left|\overrightarrow{MN}\right|=4.MN=4.4cm=16cm\)
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+2.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) ? M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ đỉnh A M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ đỉnh B. M là trung điểm của cạnh AB. Hướng dẫn giải: Do G là trọng tâm nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\) , từ đó \(\overrightarrow{MA}+2.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB}=3.\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\) Từ đó \(\overrightarrow{GB}=4\overrightarrow{GM}\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{GB}\) Suy ra M nằm trên GB và GM = 1/4 GB (xem hình vẽ) => M là trung điểm của trung tuyến kẻ qua đỉnh B
Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}\) . Trong các cặp vectơ sau đây, cặp vecto nào sau cùng phương? \(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) và \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) \(5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) và \(-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) Hướng dẫn giải: Hai vec tơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\) cùng phương nếu có số k sao cho \(\overrightarrow{x}=k.\overrightarrow{y}\) . Ta có: \(-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=-2\left(5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\). Vậy \(-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) và \(5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) là hai vec tơ cùng phương.
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{IK}\) \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) Hướng dẫn giải: IK cắt AC tại điểm M của AC và \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AM}=2\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) Vậy khẳng định \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) đúng.
Cho tam giác ABC. Biết AB = 8; AC = 9; BC = 11. M là trung điểm của BC, N là điểm trên đoạn AC sao cho \(AN=x\left(0< x< 9\right)\). Hãy khai triển \(\overrightarrow{MN}\) qua \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{9}\right)\overrightarrow{c}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{x}{9}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}\) \(\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\) \(\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{AC}}=-\frac{\left(9-x\right)}{9}=\frac{x}{9}-1\) \(\Rightarrow\overrightarrow{CN}=\left(\frac{x}{9}-1\right)\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\left(\frac{x}{9}-1\right)\overrightarrow{AC}\) \(=\left(\frac{x}{9}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) Vậy \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{x}{9}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\)
Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy tính giá trị biểu thức \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) theo \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{CB}\) . \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{a}-2.\overrightarrow{b}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-2.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) Hướng dẫn giải: Có \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\) \(2\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\). Vậy \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
Cho tam giác ABC. Gọi I và J là hai điểm xác định bởi \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB};3\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\) Hãy tính \(\overrightarrow{IJ}\) theo các vecto \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB},\) \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{b}-2.\overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{c}-2.\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{5}{2}.\overrightarrow{b}-2.\overrightarrow{c}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}\) Từ \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Rightarrow\overrightarrow{IA}=2\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}=2.\overrightarrow{b}\) Từ \(3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow3\overrightarrow{JA}+2\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{5}.\overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{5}.\overrightarrow{c}-2.\overrightarrow{b}\)
