Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BC}\left(k\ne1\right)\) . Biểu diễn \(\overrightarrow{AI}\) qua hai vec to \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AI}=\left(k-1\right)\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AI}=\left(1+k\right)\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AI}=\left(1+k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\frac{1}{k}\overrightarrow{BI}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BA}+k\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BA}+k\overrightarrow{AC}=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\) Vậy \(\overrightarrow{AI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k.\overrightarrow{AC}\)
Cho tam giác ABC, N là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\); G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{AC}\) theo \(\overrightarrow{AG}\) và \(\overrightarrow{AN}\) . \(\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Hướng dẫn giải: I là trung điểm BC. N ở vị trí như hình vẽ. C là trung điểm của IN \(\overrightarrow{AC}=\frac{\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AN}}{2}=\frac{\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AN}}{2}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Vậy \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
Cho tam giác đều ABC, tâm O. Kí hiệu M là một điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu vuông góc của M xuống 3 cạnh của tam giác là D, E, F. Tính tổng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) theo \(\overrightarrow{MO}\) . \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MO}\) \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\) Hướng dẫn giải: Từ M kẻ ba đường thẳng song song với 3 cạnh của tam giác. Các giao điểm với các cạnh lần lượt I, J, K, L, P, Q Dễ thấy D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ; \(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\) \(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\) \(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}\right)+\left(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MQ}\right)}{2}\) \(=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}}{2}=\frac{3\overrightarrow{MO}}{2}\) (Vì \(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MA}\) Vậy \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm I thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) Trung điểm AB Trọng tâm của tam giác ABC Đỉnh I của hình bình hành ACBI Đỉnh I của hình bình hành ABCI Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}\) I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác; H là điểm đối xứng của B qua G; M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MH}\) qua hai vecto \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\). \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{2}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{4}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\) \(\overrightarrow{MH}=\frac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{8}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết M là trung điểm BC, H đối xứng với B qua G suy ra: \(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MG}=2.\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MH}=-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}-\overrightarrow{MB}\) (1) Mặt khác \(\overrightarrow{MB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\), thế vào (1) ta được: \(\overrightarrow{MH}=-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\) Vậy \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\)
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) và N là điểm trên cạnh CB sao cho \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{CB}\) . Hãy biểu diễn vecto \(\overrightarrow{MN}\) qua hai vecto \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{3\overrightarrow{b}-11\overrightarrow{a}}{20}\) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{5\overrightarrow{b}-13\overrightarrow{a}}{20}\) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{7\overrightarrow{b}-15\overrightarrow{a}}{20}\) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{9\overrightarrow{b}-17\overrightarrow{a}}{20}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra M là trung điểm của AP; P là trung điểm của AB. do đó: \(\overrightarrow{NM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\right)\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{NA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{NB}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CN}\right)+\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{a}-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{b}\right)+\dfrac{1}{10}\overrightarrow{b}\)
Cho tam giác ABC. Kí hiệu N là điểm thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) và G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy tính \(\overrightarrow{AC}\) theo \(\overrightarrow{AG,}\overrightarrow{AN}\) . \(\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{3}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Ta có: C là trung điểm IN (I là trung điểm của BC) \(\overrightarrow{AC}=\frac{\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AN}}{2}=\frac{\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AN}}{2}\) \(=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Vậy: \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\)
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của đoạn MN. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\) . Hãy khai triển vecto \(\overrightarrow{AK}\) qua \(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\). \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{b}-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{b}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}\) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b},\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{c}\)
Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi N là điểm cho bởi \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). Hãy tính \(\overrightarrow{AC}\) theo hai vecto \(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AN}\). \(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AG}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) \(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AG}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\) Hướng dẫn giải: Gọi M là giao điểm của AG với BC. Từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC; C là trung điểm của MN. Từ đó \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\)
Cho tam giác ABC; M là một điểm tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\)
