Cho tam giác ABC. M là một điểm trên cạnh BC sao cho \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\). Hãy khai triển vecto \(\overrightarrow{AM}\) qua \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của BC thì \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) và từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}\Rightarrow M\) là trung điểm của BN. Do đó \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
Cho tam giác ABC. M là một điểm trên cạnh BC sao cho \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\). Hãy khai triển vecto \(\overrightarrow{AM}\) qua \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của BC thì \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) và từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}\Rightarrow M\) là trung điểm của BN. Do đó \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
Trong các vec tơ sau đây, vecto nào bằng vecto \(\overrightarrow{AC}\) ? \(\overrightarrow{OB}\) \(\overrightarrow{OC}\) \(\overrightarrow{OD}\) \(\overrightarrow{ON}\) Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ ta thấy A(1;0), B(2;0), C(3;0), D(4;0), N(-2;0) suy ra \(\overrightarrow{AC}=\left(3-1;0-0\right)=\left(2;0\right)\), \(\overrightarrow{OB}\left(2;0\right),\overrightarrow{OC}\left(3;0\right)\), \(\overrightarrow{OD}\left(4;0\right)\). Do đó chỉ có vecto \(\overrightarrow{OB}\) bằng vecto \(\overrightarrow{AC}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI? \(\overrightarrow{a}=\left(-3;0\right)\) và \(\overrightarrow{i}=\left(1;0\right)\) là hai vec tơ ngược hướng \(\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(-3;-4\right)\) là hai vec tơ đối nhau \(\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(4;3\right)\) là hai vec tơ đối nhau Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau Hướng dẫn giải: Trong các khẳng định trên, khẳng định "\(\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(4;3\right)\) là hai vec tơ đối nhau" sai vì \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(7;7\right)\ne\overrightarrow{0}\Rightarrow\)\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không phải là hai vecto đối nhau.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI? Tọa độ điểm A là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{OA}\). Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0. Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0. Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất. Hướng dẫn giải: Phát biểu sau là SAI: "Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất." Phát biểu đúng là: "Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất hoặc góc phần tư thứ ba."
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5 ; 2) , B(10 ; 8). Hãy tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{AB}\) . \(\left(15;10\right)\) \(\left(2;4\right)\) \(\left(5;6\right)\) \(\left(50;16\right)\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)\) \(=\left(10-5;8-2\right)\) \(=\left(5;6\right)\)
Cho tam giác ABC có A(3 ; 5) , B(1 ; 2), C(5 ; 2). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. \(\left(-3;4\right)\) \(\left(4;0\right)\) \(\left(\sqrt{2};3\right)\) \(\left(3;3\right)\) Hướng dẫn giải: Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right)=\dfrac{1}{3}\left(3+1+5\right)=3\\y=\dfrac{1}{3}\left(y_A+y_B+y_C\right)=\dfrac{1}{3}\left(5+2+2\right)=3\end{matrix}\right.\) Vậy G(3; 3).
Cho tam giác ABC có B(9 ; 7) , C(11 ; -1), M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{MN}\) . \(\left(2;-8\right)\) \(\left(1;-4\right)\) \(\left(10;6\right)\) \(\left(5;3\right)\) Hướng dẫn giải: Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(x_C-x_B;y_C-y_B\right)=\frac{1}{2}\left(11-9;-1-7\right)=\frac{1}{2}\left(2;-8\right)=\left(1,-4\right)\)
Cho ba điểm A(-1 ; 5) , B(5 ; 5), C(-1 ; 11). Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng ? A, B, C thẳng hàng \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương Hướng dẫn giải: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(5+1;5-5\right)=\left(6;0\right)\) \(\overrightarrow{AC}=\left(x_C-x_A;y_C-y_A\right)=\left(-1+1;11-5\right)=\left(0;6\right)\) Nhận thấy \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow{i}\) (trục hoành) trong khi \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow{j}\) (trục tung). Vậy A, B, C không thẳng hàng và các vec tơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương. Khẳng định đúng là :" \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương".
Tìm số thực x để hai vecto \(\overrightarrow{a}=\left(-8;2\right)\) , \(\overrightarrow{b}=\left(4;x\right)\) cùng phương. \(x=-2\) \(x=-1\) \(x=0\) \(x=1\) Hướng dẫn giải: \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(4;x\right)=k.\left(-8;2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4=-8k\\x=2k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=-\dfrac{1}{2}\\x=-1\end{matrix}\right.\) Hay là: \(\left(-8;2\right)=k\left(4;x\right)\) \(\left(-8;2\right)=\left(4k;xk\right)\) \(\begin{cases}-8=4k\\2=xk\end{cases}\) Từ phương trình trên suy ra \(k=-2\) thay vào phương trình dưới ta được \(x=-1\).
