LTTK TEZ giới thiệu đến bạn đọc bài viết con lắc lò xo trong chương trình Vật lý 12, bài viết gồm 03 phần chính: kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa và bài tập tự giải. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Con lắc lò xo Con lắc lò xo là một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo cố định. 2. Phương trình dao động của con lắc lò xo Vị trí cân bằng $O$ của vật là vị trí khi lò xo không biến dạng. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông tay, vật dao động trên một đoạn thẳng quanh vị trí câu bằng. Vì trọng lực $\overrightarrow P $ và phản lực $\overrightarrow N $ tác dụng vào vật cân bằng nhau nên hợp lực $\overrightarrow F $ tác dụng vào vật là lực đàn hồi $F = – kx$ của lò xo (có vai trò lực kéo về): $mx” = – kx.$ Phương trình động lực học của dao động: $x” + \frac{k}{m}x = 0$ hay $x” + {\omega ^2}x = 0$ với $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} $ là tần số góc của dao động. Phương trình dao động: $x = A\cos (\omega t + \varphi ).$ Chu kì dao động của con lắc lò xo: $T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} .$ 3. Cơ năng của con lắc lò xo Thế năng đàn hồi $W_t$ của con lắc: ${W_t} = \frac{{k{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\cos ^2}(\omega t + \varphi ).$ Động năng $W_đ$ của con lắc: ${W_đ} = \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi ).$ Động năng và thế năng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với tần số góc bằng $2\omega $ và với chu kì $T = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} .$ Cơ năng của con lắc lò xo: $W = {W_đ} + {W_t}$ $ = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}mv_{\max }^2.$ Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động. Khi không có ma sát, cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn. 4. Trường hợp con lắc lò xo (treo) thẳng đứng Vật nặng chịu tác dụng của hợp lực $\overrightarrow F $, của trọng lực $\overrightarrow P $ và lực đàn hồi $\overrightarrow {F_đh} $ (${F_{đh}} = – k(x + \Delta l)$, với $\Delta l$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng $O$, $\Delta l = \frac{{mg}}{k}$): $F = – kx.$ Tần số góc và chu kì dao động của con lắc lò xo thẳng đứng: $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} .$ $T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} .$ Thế năng $W_t$ của vật dao động bao gồm thế năng trong trường $W_{tt}$ và thế năng đàn hồi $\left( {{W_{đh}} = \frac{1}{2}k{{(x + \Delta l)}^2}} \right).$ Cơ năng của con lắc lò xo thẳng đứng có biểu thức: $W = \frac{1}{2}k{(A + \Delta l)^2}$ được bảo toàn (chọn mốc tính thế năng trong trường tại vị trí biên dưới). II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1. Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng $m$ và lò xo có độ cứng $k = 20$ N/m dao động với chu kì $2$s. a) Tính khối lượng $m$ của vật dao động. b) Nếu treo thêm một gia trọng sao cho khối lượng của con lắc tăng lên gấp $2,25$ lần so với lúc đầu thì chu kì dao động của con lắc thay đổi thế nào? a) $T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} $ $ \Rightarrow m = \frac{{k{T^2}}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{{20.2}^2}}}{{4{\pi ^2}}} \approx 2$ kg. b) Khi khối lượng tăng lên gấp $2,25$ lần thì chu kì tăng thêm $1,5$ lần. Ví dụ 2. Một con lắc lò xo có biên độ dao động $5$cm, có vận tốc cực đại $1,2$m/s và có cơ năng $1$J. Tính độ cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc. Từ biểu thức của cơ năng $W = \frac{1}{2}k{A^2}$, ta có: $k = \frac{{2W}}{{{A^2}}} = \frac{{2.1}}{{{{(0,05)}^2}}} = 800$ N/m. Mặt khác, từ $W = \frac{1}{2}mv_{\max }^2$, ta có: $m = \frac{{2W}}{{v_{\max }^2}} = \frac{{1.2}}{{{{(1,2)}^2}}} \approx 1,388 \approx 1,39$ kg. Tần số góc của dao động: $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \approx 24$ rad/s. Tần số dao động: $f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{{24}}{{6,28}} \approx 3,82$Hz. Ví dụ 3. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động với phương trình $x = 4\cos 5t$ (cm). Ở thời điểm đầu tiên $t_1$, kể từ lúc $t = 0$, thế năng bằng ba lần động năng thì vật có li độ bao nhiêu? ${W_t} = 3{W_đ} = \frac{3}{4}W$ $ \Rightarrow x_1^2 = \frac{3}{4}{A^2}$ $ \Rightarrow {x_1} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}A = \pm 2\sqrt 3 $ cm. Thời điểm đầu tiên $t_1$ (kể từ lúc bắt đầu dao động) khi thế năng bằng ba lần động năng ứng với vận tốc $v < 0$, tức ${x_1} = + 2\sqrt 3 $ cm $ = + 3,46$ cm. Từ ${x_1} = 4\cos 5{t_1} = 2\sqrt 3 $, ta có: $\cos 5{t_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}.$ Do đó: ${t_1} = \frac{\pi }{{30}} \approx 0,104s.$ Ví dụ 4. Một con lắc lò xo thẳng đứng, đầu dưới có một vật $m$ dao động với biên độ $10$cm và tần số $1$Hz. Tính tỉ số giữa lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo trong quá trình dao động. Lấy $g = 10$ $m/{s^2}.$ ${\omega ^2} = \frac{k}{m} = \frac{g}{{\Delta l}}$ $ \Rightarrow \Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{g}{{{\omega ^2}}} \approx \frac{{10}}{{40}} = 0,25$m $ \Rightarrow \frac{{{F_{\max }}}}{{{F_{\min }}}} = \frac{{k(\Delta l + A)}}{{k(\Delta l – A)}} = \frac{{\Delta l + A}}{{\Delta l – A}} = \frac{7}{3}.$ Ví dụ 5. Dao động điều hòa của con lắc lò xo không có tính chất nào sau đây? A. Li độ biến thiên theo quy luật dạng sin hoặc dạng cosin đối với thời gian. B. Chu kì riêng phụ thuộc vào đặc tính của hệ. C. Cơ năng không đổi và tỉ lệ với bình phương biên độ. D. Vận tốc và gia tốc biến thiên điều hòa với cùng tần số và cùng nha. Vận tốc và gia tốc biến thiên điều hòa với cùng tần số nhưng không cùng pha. Chọn D. Ví dụ 6. Một con lắc gồm lò xo khối lượng không đáng kể, độ cứng $k$ và một vật có khối lượng $m$ gắn vào đầu lò xo, đầu kia của lò xo được treo vào một điểm cố định. Con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng ở nơi có gia tốc trọng trường $g.$ Khi vật ở vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là $\Delta l.$ Tần số dao động của con lắc được tính bằng công thức: A. $f = 2\pi \sqrt {\frac{k}{m}} .$ B. $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{\Delta l}}{g}} .$ C. $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{m}{k}} .$ D. $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{\Delta l}}} .$ Tại vị trí cân bằng: $mg = k\Delta l$, từ đó: $\frac{k}{m} = \frac{g}{{\Delta l}}.$ Tần số dao động: $f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{\Delta l}}} .$ Chọn D. Ví dụ 7. Một vật có khối lượng $m$ treo vào lò xo có độ cứng $k.$ Kích thích cho vật dao động điều hòa với biên độ $2$cm thì chu kì dao động của nó là $T = 0,2$s. Nếu kích thích cho vật dao động điều hòa với biên độ $4$cm thì chu kì dao động của nó là: A. $0,2$s. B. $0,5$s. C. $0,4$s. D. $0,3$s. Chu kì dao động riêng của con lắc lò xo không phụ thuộc biên độ. Chọn A. Ví dụ 8. Một chất điểm gắn vào lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Chất điểm đổi chiều chuyển động khi hợp lực tác dụng lên chất điểm: A. đổi chiều. B. bằng không. C. có độ lớn cực đại. D. ngược chiều chuyển động. Vật đổi chiều chuyển động khi vật đến vị trí biên ($x = \pm A$, $v = 0$), ở vị trí này hợp lực tác dụng lên vật đạt giá trị cực đại. Chọn C. Ví dụ 9. Một con lắc lò xo, nếu tần số tăng $4$ lần và biên độ giảm $2$ lần thì năng lượng của nó: A. không đổi. B. giảm $2$ lần. C. giảm $4$ lần. D. tăng $4$ lần. Lúc đầu: $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}.$ Lúc sau: Khi $f$ tăng $4$ lần thì $\omega $ tăng $4$ lần, biên độ lúc sau: ${A_1} = \frac{A}{2}.$ ${W_1} = \frac{1}{2}{k_1}A_1^2 = \frac{1}{2}m\omega _1^2A_1^2$ $ = \frac{1}{2}m.16{\omega ^2}\frac{{{A^2}}}{4} = 4 \cdot \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 4W.$ Vậy năng lượng của con lắc lò xo tăng $4$ lần. Chọn D. II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1. Một vật nhỏ, khối lượng $m$ gắn vào đầu một lò xo, khối lượng của lò xo không đáng kể, đầu kia của lò xo treo vào một điểm cố định $O.$ Vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số $f = 2,5$Hz. Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo biến thiên từ ${l_1} = 20$cm đến ${l_2} = 24$cm. Viết phương trình dao động của vật. Bài tập 2. Hai lò xo có cùng chiều dài tự nhiên. Khi treo vật $m = 200$g bằng lò xo có độ cứng $k_1$ thì nó dao động với chu kì ${T_1} = 0,3$s. Thay lò xo có độ cứng $k_2$ thì chu kì là ${T_2} = 0,4$s. Nối hai lò xo song song với nhau rồi treo vật $m$ vào phía dưới thì chu kì dao động là bao nhiêu? Bài tập 3. Một lò xo độ cứng $k$ treo thẳng đứng vào điểm cố định, đầu dưới treo vật có khối lượng $m = 100$g. Vật dao động điều hòa với tần số $f = 5$Hz, cơ năng là $0,08$J. Lấy $g = 10m/{s^2}.$ Tính tỉ số động năng và thế năng tại li độ $x = 2$cm. Bài tập 4. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số $1$Hz, biên độ $4$cm. Nếu chọn gốc thời gian $(t = 0)$ là lúc vật qua vị trí cân bằng thì quãng đường vật đi được trong $1,25$s đầu tiên là: A. $10$cm. B. $15$cm. C. $5$cm. D. $20$cm. Bài tập 5. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một quả cầu khối lượng $m = 0,4$kg gắn vào lò xo có độ cứng $k.$ Đầu còn lại của lò xo gắn vào một điểm cố định. Khi đứng yên, lò xo dãn $10$cm. Tại vị trí cân bằng, người ta truyền cho quả cầu một vận tốc ${v_0} = 60$ cm/s hướng xuống. Lấy $g = 10m/{s^2}.$ Biên độ dao động của con lắc là? A. $6$cm. B. $0,5$cm. C. $0,6$m. D. $0,5$m. Bài tập 6. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số góc $\omega $ tại nơi có gia tốc trọng trường $g.$ Khi qua vị trí cân bằng độ dãn của lò xo là: A. $\Delta L = \frac{\omega }{g}.$ B. $\Delta l = \frac{{{\omega ^2}}}{g}.$ C. $\Delta l = \frac{g}{{{\omega ^2}}}.$ D. $\Delta l = \frac{g}{\omega }.$ Bài tập 7. Một con lắc lò xo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì $\frac{\pi }{5}$s. Trong quá trình dao động độ dài của con lắc biến thiên từ $20$cm đến $30$cm. Lấy $g = 10m/{s^2}.$ Độ dài tự nhiên của nó là: A. $48$cm. B. $24$cm. C. $42$cm. D. $40$cm. Bài tập 8. Một con lắc lò xo có độ cứng $k = 40$ N/m dao động với chu kì $0,314$s. Gia tốc có độ lớn cực đại là $12$ m/s. Năng lượng của nó là: A. $48$mJ. B. $9$mJ. C . $18$mJ. D . $24$mJ. Bài tập 9. Con lắc lò xo gồm lò xo có chiều dài tự nhiên $20$cm, đầu trên cố định. Treo vào đầu dưới một quả cầu có khối lượng $100$g. Khi vật cân bằng thì lò xo dài $22,5$cm. Từ vị trí cân bằng kéo quả cầu theo phương thẳng đứng, hướng xuống cho lò xo dài $26,5$cm rồi buông không vận tốc đầu. Năng lượng dao động và động năng của quả cầu khi nó ở li độ $2$cm là: A. $32$mJ và $2,4$mJ. B. $3,2$mJ và $2,4$mJ. C. $1,6$m và $1,2$mJ. D. $32$mJ và $24$mJ.
