Cho hàm số \(f\left(x\right)=4x^3-3x^2+2x+1\). Hàm số \(\varphi\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2}\) được cho bởi công thức nào sau đây? \(\varphi\left(x\right)=4x^3+2x\) \(\varphi\left(x\right)=4x^3-2x\) \(\varphi\left(x\right)=-4x^3-2x\) \(\varphi\left(x\right)=-4x^3+2x\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=4x^3-3x^2+2x+1\)\(\Rightarrow f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^3-3\left(-x\right)^2+2\left(-x\right)+1=-4x^3-3x^2-2x+1\) Do đó \(f\left(x\right)-f\left(-x\right)=8x^3+4x\) và \(\varphi\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2}\)\(=4x^3+2x\)
Hàm số nào trong các hàm số sau đây thỏa mãn điều kiện \(2f\left(x\right)+3f\left(-x\right)=3x+2,\forall x\) \(f\left(x\right)=-3x+\dfrac{2}{5}\) \(f\left(x\right)=3x-\dfrac{2}{5}\) \(f\left(x\right)=-3x-\dfrac{2}{5}\) \(f\left(x\right)=3x+\dfrac{2}{5}\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Lần lượt thử từng trường hợp, ta thấy \(f\left(x\right)=-3x+\dfrac{2}{5}\) thỏa mãn điều kiện đã cho. Cách 2: Thay \(x\) bởi \(-x\) thì điều kiện đã cho trở thành \(2f\left(-x\right)+3f\left(x\right)=-3x+2,\forall x\) Như vậy ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{}2f\left(x\right)+3f\left(-x\right)=3x+2\\3f\left(x\right)+2f\left(-x\right)=-3x+2\end{matrix}\right.\) Giải hệ phương trình này (ẩn \(f\left(x\right),f\left(-x\right)\)) ta được \(f\left(x\right)=-3x+\dfrac{2}{5}\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) với tập xác định \(D=\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng? \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) \(f\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+x^2}\) \(f\left(x\right)=1+\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\) Hướng dẫn giải: Với mỗi \(x\in D\) (tức là \(x>0\)) ta cần tính \(f\left(x\right)\). Để làm điều này, xét \(t=\dfrac{1}{x}\) thì \(t\in D\) và \(\dfrac{1}{t}=x\). Theo giả thiết ta có \(f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t+\sqrt{1+t^2}\). Trả lại \(\dfrac{1}{t}=x,x=\dfrac{1}{t}\) ta được \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\left|x\right|}=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\) Đáp số: \(f\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)với tập xác định \(D=\left(-\infty;+\infty\right)\backslash\left\{0\right\}\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(x\right)+3f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x,\forall x\in D\). Khẳng định nào sau đây đúng? \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-3}{8x}\) \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3}{8x}\) \(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+3}{8x}\) \(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2-3}{8x}\) Hướng dẫn giải: \(\forall t\in D\) thì theo giả thiết \(f\left(t\right)+3f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t\). Mặt khác \(t\in D\Rightarrow t\ne0\Rightarrow\dfrac{1}{t}\ne0\Rightarrow f\left(\dfrac{1}{t}\right)+3f\left(1:\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{1}{t}\). Do đó ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(t\right)+3f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t\\3f\left(t\right)+f\left(\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\) Giải hệ này ta được \(f\left(t\right)=\dfrac{-t^2+3}{8t},\forall t\in D\), suy ra \(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+3}{8x},\forall x\in D\)
