Chất phóng xạ \(_6^{14}C\) có chu kì bán rã 5570 năm. Khối lượng \(_6^{14}C\) có độ phóng xạ 5,0 Ci bằng 1,09 g. 1,09 mg. 10,9 g. 10,9 mg. Hướng dẫn giải: Số hạt nhân ban đầu \(N_0= \frac{H_0}{\lambda}\) Khối lượng ứng cới độ phóng xạ \(H_0\) là \(m_0 = nA= \frac{N_0}{N_A}A= \frac{H_0}{N_A}= \frac{5.3,7.10^{10}.14}{6,02.10^{23} \frac{\ln 2}{5570.365.24.3600}}= 1,09g.\)
Độ phóng xạ β- của một tượng gỗ bằng 0,8 lần độ phóng xạ của một khúc gỗ cùng khối lượng vừa mới chặt. Biết chu kì bán rã của C14 bằng 5600 năm. Tuổi của tượng gỗ là 1200 năm. 2000 năm. 2500 năm. 1803 năm. Hướng dẫn giải: Tỉ số giữa độ phóng xạ của tượng gỗ (sau thời gian t) so với độ phóng xạ của gỗ lúc mới chặt \(\frac{H}{H_0}= 0,8= 2^{-\frac{t}{T}}\) => \(t = 0,32 T = 1802,8.( năm)\) Như vậy tượng gỗ có gần 1803 năm tuổi.
Khi phân tích một mẫu gỗ, người ta xác định được rằng 87,5 % số nguyên tử đồng vị phóng xạ \(_6^{14}C\) đã bị phân rã thành các nguyên tử \(_7^{14}N\) . Biết chu kì bán rã của là T = 5570 năm. Tuổi của mẫu gỗ này là 16710 năm. 17000 năm. 16100 năm. 16710 ngày. Hướng dẫn giải: 1 hạt nhân \(_6^{14}C\) bị phân rã tạo thành 1 hạt nhân \(_7^{14}N\). Tỉ số giữa số nguyên tử đã bị phóng xạ và số nguyên tử ban đầu là \(\frac{\Delta N}{N_0}= 1-2^{-\frac{t}{T}}= 0,875.\) => \(2^{-\frac{t}{T}}= 0,125= 2^{-3}.\) => \(t = 3T = 16710\)(năm).
Tại thời điểm t1 độ phóng xạ của một mẫu chất là x, và ở thời điểm $t_2$ là y. Nếu chu kì bán rã của mẫu là T thì số hạt nhân phân rã trong khoảng thời gian $t_2 – t_1$ là $x - y$. $(x - y)ln2/T$. $(x-y)T/ln2$. $xt_1 – yt_2$. Hướng dẫn giải: Ở thời điểm t1 ta có: \(x= H_02^{-\frac{t_1}{T}.}\) => Số hạt nhân còn lại sau thời gian t1 là \(N_1= \frac{x}{\lambda}.\) Ở thời điểm t2 ta có \(y= H_02^{-\frac{t_2}{T}.}\) => Số hạt nhân còn lại sau thời gian t2 là \(N_2= \frac{y}{\lambda}.\) Như vậy số hạt nhân bị phân rã trong khoảng thời gian (t2 - t1) là \(\Delta N =N_1-N_2=\frac{x-y}{\lambda}= \frac{(x-y)T}{\ln 2} .\)
Biết đồng vị phóng xạ \(_6^{14}C\) có chu kì bán rã 5730 năm. Giả sử một mẫu gỗ cổ có độ phóng xạ 200 phân rã/phút và một mẫu gỗ khác cùng loại, cùng khối lượng với mẫu gỗ cổ đó, lấy từ cây mới chặt, có độ phóng xạ 1600 phân rã/phút. Tuổi của mẫu gỗ cổ đã cho là 1910 năm. 2865 năm. 11460 năm. 17190 năm. Hướng dẫn giải: Xét tỉ số giữa độ phóng xạ ở thời điểm \(t\) và độ phóng xạ ban đầu ( không cần chuyển đơn vị của độ phóng xạ từ phân rã / phút sang phân rã / giây vì dùng phép chia hai độ phóng xạ cho nhau.) \(\frac{H}{H_0}= 2^{-\frac{t}{T}}= \frac{1}{8}= 2^{-3}.\) => \(t = 3T= 3.5730 = 17190 \)(năm).
Hạt nhân urani \(_{92}^{238}U\) sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì \(_{82}^{206}Pb\) . Trong quá trình đó, chu kì bán rã của \(_{92}^{238}U\) biến đổi thành hạt nhân chì \(_{82}^{206}Pb\) là 4,47.109 năm. Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.1020 hạt nhân \(_{92}^{238}U\) và 6,239.1018 \(_{82}^{206}Pb\) hạt nhân . Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì \(_{82}^{206}Pb\) có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của \(_{92}^{238}U\). Tuổi của khối đá khi được phát hiện là $3,3.10^{8}$ năm. $6,3.10^{9}$ năm. $3,5.10^{7}$ năm. $2,5.10^{6}$ năm. Hướng dẫn giải: Cứ 1 hạt nhân \(_{92}^{238}U\) bị phân rã tạo ra 1 hạt nhân \(_{82}^{206}Pb\). Từ đó ta có nhận xét là số hạt nhân \(_{92}^{238}U\) bị phân rã chính bằng số hạt nhân \(_{82}^{206}Pb\) tạo thành. Tỉ số giữa số hạt nhân \(_{92}^{238}U\) bị phân rã và số hạt nhân \(_{92}^{238}U\) còn lại là \(\frac{\Delta N}{N}= \frac{6,239.10^{18}}{1,188.10^{20}}= 0,0525 = \frac{1-2^{-\frac{t}{T}}}{2^{-\frac{t}{T}}}\) Nhân chéo => \(2^{-\frac{t}{T}}= 0,95.\) => \(t = -T\ln_2 0,95 = 3,3.10^8\)(năm) => Tuổi của khối đã là 3,3.108 năm.
Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ \(^{235}U\)và \(^{238}U\), với tỷ lệ số hạt \(^{235}U\) và số hạt \(^{238}U\) là \(\frac{7}{1000}\). Biết chu kì bán rã của \(^{235}U\) và \(^{238}U\) lần lượt là 7,00.108 năm và 4,50.109 năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỷ lệ số hạt \(^{235}U\)và số hạt \(^{238}U\)là \(\frac{3}{100}\) ? 2,74 tỉ năm. 2,22 tỉ năm. 1,74 tỉ năm. 3,15 tỉ năm. Hướng dẫn giải: Kí hiệu \(N_{01}\), \(N_{02}\) là số hạt ban đầu lần lượt của \(^{235}U\) và \(^{238}U\). Hiện nay \(t_2\): \(\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{N_{01}2^{-\frac{t_2}{T_1}}}{N_{02}2^{-\frac{t_2}{T_2}}} =\frac{7}{1000}.(1)\) Thời điểm \(t_1\): \(\frac{N_1}{N_2}= \frac{N_{01}2^{-\frac{t_1}{T_1}}}{N_{02}2^{-\frac{t_1}{T_2}}} = \frac{3}{100}.(2)\) Chia (1) cho (2) => \(\frac{2^{-\frac{t_2}{T_1}}.2^{-\frac{t_1}{T_2}}}{2^{-\frac{t_1}{T_1}}.2^{-\frac{t_2}{T_2}}}= \frac{7.100}{3.1000}= \frac{7}{30}.\) Áp dụng \(\frac{1}{2^{-x}} =2^x. \) => \(2^{(t_2-t_1)(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1})} = \frac{7}{30}.\) => \(t_2-t_1 = \frac{T_1T_2}{T_1-T_2}\ln_2 (7/30)=1,74.10^{9}\).(năm) \(= 1,74 \)(tỉ năm). Như vậy cách hiện nay 1,74 tỉ năm thì trong urani tự nhiên có tỉ lệ số hạt thỏa mãn như bài cho.
Áp dụng phương pháp dùng đồng vị phóng xạ \(_6^{14}C\) đề định tuổi của các cổ vật. Kết quả đo cho thấy độ phóng xạ của một tượng cổ bằng gỗ khối lượng m là 4 Bq. Trong khi đó độ phóng xạ của một mẫu gỗ khối lượng 2 m của một cây vừa mới được chặt là 10 Bq. Lấy T = 5570 năm. Tuổi của tượng cổ này là 1794 năm. 1794 ngày. 1700 năm. 1974 năm. Hướng dẫn giải: Độ phóng xạ của gỗ cổ ở thời gian t là \(H = H_0 2^{-\frac{t}{T}}= \lambda N_02^{-\frac{t}{T}}\) mà \(N_0 = nN_A= \frac{m}{A}N_A\) Độ phóng xạ của gỗ mới chặt là \(H_0 = \lambda N_0 = \lambda \frac{2m}{A}N_A\)
Một mảnh gỗ cổ có độ phóng xạ của \(_6^{14}C\) là 3 phân rã/phút. Một lượng gỗ tương đương lúc mới chặt cho thấy tốc độ đếm xung là 14 xung/phút. Biết rằng chu kì bán rã của là T = 5570 năm. Tuổi của mảnh gỗ là 12400 năm. 12400 ngày. 14200 năm. 13500 năm.
Urani \(_{92}^{238}U\) sau nhiều lần phóng xạ α và β- biến thành \(_{82}^{206}Pb\). Biết chu kì bán rã của sự biến đổi tổng hợp này là T = 4,6.109 năm. Giả sử ban đầu một loại đá chỉ chứa urani, không chứa chì. Nếu hiện nay tỉ lệ của các khối lượng của urani và chì là \(\frac{m_U}{m_{Pb}}= 37\), thì tuổi của loại đá ấy là $2.10^{7}$ năm. $2.10^{8}$ năm. $2.10^{9}$ năm. $2.10^{10}$ năm. Hướng dẫn giải: Cứ 1 hạt nhân Urani bị phân rã tạo thành 1 hạt nhân chì. Số hạt nhân Urani đã bị phân rã chính bằng số chì tạo thành. \(\frac{ m_U}{m_{Pb}}=\frac{m}{\Delta m}= \frac{2^{-\frac{t}{T}}}{1-2^{-\frac{t}{T}}}= 37.\) Nhân chéo => \(2^{-\frac{t}{T}}= \frac{37}{38}.\) => \(t = -T\ln_2(\frac{37}{38}) \approx 2.10^8\).(năm)
