1. Bài toán Các bài toán liên quan đến điện trở thay đổi (biến trở) thường hay gặp trong các dạng toán liên quan đến công suất. Bài toán: Mạch xoay chiều RLC có điện trở R thay đổi. Tìm R để công suất tiêu thụ của mạch cực đại. 2. Phương pháp giải Đây là một bài toán liên quan đến dạng toán cực trị trong mạch xoay chiều. Nguyên tắc chung để giải các bài toán này là ta biểu diễn giá trị theo đại lượng biến đổi rồi đánh giá. Công suất của mạch: \(P=I^2R=\frac{U^2.R}{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}\)\(\Leftrightarrow P=\frac{U^2}{R+\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}}\) [1](chia cả tử số và mẫu số cho R) Đánh giá: P max khi và chỉ khi mẫu số [1] min. Theo BĐT Cô si ta có: \(R+\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}\ge2\sqrt{R.\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}}=2\left|Z_L-Z_C\right|\) Dấu "=" xảy ra khi: \(R=\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}\)\(\Leftrightarrow \boxed{ R=\left|Z_L-Z_C\right|}\) \(\Leftrightarrow \boxed{P_{max}=\frac{U^2}{2R}=\frac{U^2}{2|Z_L-Z_C|}}\) 3. Hệ quả Hệ số công suất của mạch: \(\cos\varphi=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+R^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), lưu ý rằng rất nhiều bạn nhầm trong trường hợp này là \(\cos\varphi=1\) Ta có: \(P=\frac{U^2.R}{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}\)\(\Leftrightarrow P.R^2-U^2R+P\left(Z_L-Z_C\right)^2=0\)[2] Phương trình [2] là một phương trình bậc 2 có ẩn là \(R\), phương trình này có 2 nghiệm \(R_1,R_2\). Hay nói cách khác khi \(R=R_1\) hoặc \(R=R_2\) thì công suất của mạch như nhau. Theo định lý Vi-ét ta có: \(\boxed{R_1+R_2=\frac{U^2}{P}}\) \(\boxed{R_1.R_2=(Z_L-Z_C)^2}\) Nếu cuộn dây không thuần cảm, cũng hoàn toàn chứng minh tương tự ta được các kết quả sau: Công suất tiêu thụ của mạch cực đại: Khi: \(R+r=\left|Z_L-Z_C\right|\) \(P_{max}=\frac{U^2}{2\left(R+r\right)}\) Công suất tiêu thụ trên điện trở R cực đại: Khi: \(R=Z_{đoạn-còn-lại}=\sqrt{r^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}\) \(P_{max}=\frac{U^2}{2R}\)
Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở \(R\), cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm \(L\) và tụ điện có điện dung \(C\) mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là \(U\), cảm kháng \(Z_L\), dung kháng \(Z_C\) (với \(Z_C \neq Z_L\)) và tần số dòng điện trong mạch không đổi. Thay đổi \(R\) đến giá trị \(R_0\) thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại \(P_m\), khi đó \(R_0 = Z_L + Z_C.\) \(P_m=\frac{U^2}{R_0}.\) \(P_m=\frac{Z_L^2}{Z_C}.\) \(R_0=|Z_L-Z_C|\)
Đặt điện áp \(u = 200\cos100\pi t (V)\) vào hai đầu đoạn mạch gồm một biến trở R mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(\frac{1}{\pi}\)H. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng \(1A.\) \(2A.\) \(\sqrt2A.\) \(\frac{\sqrt2}{2}A.\) Hướng dẫn giải: \(Z_L=\omega L=100\Omega\) Biến trở R thay đổi để \(P_R\) max khi \(R=Z_L\) \(\Rightarrow R=100\Omega\) Cường độ dòng điện: \(I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}=\frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{100^2+100^2}}=1A\)
Đặt hiệu điện thế \(u = U_0\cos\omega t\) (\(U_0\) và \(\omega\) không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh. Biết độ tự cảm và điện dung được giữ không đổi. Điều chỉnh trị số điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại. Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch bằng \(0.85.\) \(0,5. \) \(1.\) \(\frac{1}{\sqrt2}.\)
Cho mạch xoay chiều gồm biến trở \(R\) (biến đổi từ \(0\) đến \(200\Omega\), cuộn cảm thuần \(L=\frac{0,8}{\pi}H\) và tụ \(C=\frac{10^{-4}}{2\pi}F\) mắc nối tiếp. Đặt vao hai đầu mạch hđt \(u=200\cos(100\pi t)(V)\). Tìm \(R\) để công suất của mạch cực đại và giá trị cực đại \(P_{max}\) đó? \(120\Omega; 250W.\) \(60\Omega; 250W.\) \(120\Omega; \frac{250}{3}W.\) \(60\Omega; \frac{250}{3}W.\) Hướng dẫn giải: Công suất của mạch là \(P = I^2 R = \frac{U^2}{R^2+(Z_L-Z_C)^2}.R\) => \(P = \frac{U^2}{\frac{R^2+(Z_L-Z_C)^2}{R}} = \frac{U^2}{R + \frac{(Z_L-Z_C)^2}{R}}.\) P max <=> mẫu đạt giá trị min. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm ta được \(R + \frac{(Z_L-Z_C)^2}{R} \geq 2 \sqrt{R.\frac{(Z_L-Z_C)^2}{R}} =2 |Z_L-Z_C|\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(R = \frac{(Z_L-Z_C)^2}{R} => R = |Z_L-Z_C|.\) Tính \(Z_L = L \omega = 80\Omega, Z_C = 200 \Omega.\) => \(R = 120 \Omega; P_{max}= \frac{U}{2|Z_L-Z_C|} = \frac{(200/\sqrt{2})^2}{2.120} = \frac{250}{3}W.\)
Cho mạch xoay chiều gồm biến trở \(R\) (biến đổi từ \(200\Omega\) đến \(400\Omega\), cuộn cảm thuần \(L=\frac{0,8}{\pi}H\) và tụ \(C=\frac{10^{-4}}{2\pi}F\) mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch hđt \(u=200\cos(100\pi t)(V)\). Tính \(R\)để \(P = 50W\). \(40\Omega.\) \(80\Omega.\) \(240\Omega.\) \(360\Omega.\)
Mạch điện AB gồm 3 đoạn mạch mắc nối tiếp: AM (chứa tụ C); MN (chứa biến trở R); NB (chứa cuộn cảm thuần L). Đặt vào hai đầu mạch hđt \(u=U\sqrt2\cos(100\pi t)(V)\). Khi \(R=30\Omega\) thì hđt giữa AN, MB lệch pha nhau \(\frac{\pi}{2}\) và có giá trị hiệu dụng lần lượt là 75V, 100V. Khi \(R=R_0\) thì công suất mạch cực đại. Xác định \(R_0\) và công suất cực đại đó. \(17,5\Omega.\) \(34\Omega.\) \(60\Omega.\) \(30\Omega.\)
Mạch xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R; cuộn dây có điện trở thuần \(r=30\Omega\), độ tự cảm \(L=\frac{1}{\pi}H\) và tụ \(C=\frac{10^{-3}}{6\pi}F\). Hđt hai đầu mạch \(u=100\sqrt2\cos(100\pi t)(V)\). Xác định giá trị của biến trở để công suất trong mạch cực đại. \(40\Omega.\) \(10\Omega.\) \(50\Omega.\) \(20\Omega.\) Hướng dẫn giải: Câu này tương tự như câu vừa rồi bạn hỏi nhưng thay vì điện trở R có thêm cả điện trở r Tức là \(R+r = |Z_L-Z_C| và P_{max} = \frac{U^2}{2|ZL-Z_C|} \) => \(R = |100 - 60| - 30 = 10 \Omega.\) Chọn đáp án B.
Mạch xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R; cuộn dây có điện trở thuần \(r=30\Omega\), độ tự cảm \(L=\frac{1}{\pi}H\) và tụ \(C=\frac{10^{-3}}{6\pi}F\). Hđt hai đầu mạch \(u=100\sqrt2\cos(100\pi t)(V)\). Xác định giá trị của biến trở để công suất tiêu thụ trên biến trở cực đại. \(10\Omega.\) \(40\Omega.\) \(50\Omega.\) \(20\Omega.\)
Mạch \(RLC\) mắc nối tiếp có điện trở \(R\) biến đổi được. Hđt hai đầu mạch \(u=100\sqrt2\cos(100\pi t)(V)\). Khi \(R=R_0=100\Omega\) thì công suất mạch cực đại. Xác định giá trị của \(R\) để công suất của mạch là \(40W\). \(80\Omega.\) \(100\Omega.\) \(50\Omega.\) \(20\Omega.\)
