MỆNH ĐỀ1. Mệnh đề Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Ví dụ: Các câu sau là mệnh đề: "Phan-xi-phăng là ngọn núi cao nhất Việt Nam" - Đây là mệnh đề đúng "\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ" - Đây là mệnh đề đúng "\(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ" - Đây là mệnh đề sai Các câu sau không phải là mệnh đề: "Mệt quá !" "Ban ơi, mở giúp tôi cái cửa sổ." "Lan ơi, bây giờ mấy giờ rồi?" Chú ý: Một mệnh đề chỉ có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai hoặc chưa xác định tính đúng sai (như trường hợp mênh đề chứa biến dưới đây), nhưng mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. 2. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà sự đúng đắn, đúng hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi (biến). Ví dụ: Câu “Số nguyên n chia hết cho 3” là mệnh đề chứa biến n, và ta chưa thể xác định được nó đúng hay sai. Nếu ta gán cho n giá trị n= 4 thì ta có một mệnh đề sai. Nếu gán cho n giá trị n=9 thì ta có một mệnh đề đúng. 3. Phủ định của một mệnh đề Cho A là một mệnh đề. Mệnh đề phủ định của mênh đề A là một mệnh đề (kí hiệu là \(\overline{A}\)) được hình thành bởi thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề A. Hai mệnh đề A và \(\overline{A}\) có những khẳng định trái ngược nhau. Nếu A đúng thì \(\overline{A}\) sai. Nếu A sai thì \(\overline{A}\) đúng. Ví dụ 1: (thêm từ "không" trước vị ngữ) A : "3 là một số nguyên tố" ; \(\overline{A}\) : "3 không là một số nguyên tố" Ví dụ 2: (bớt từ "không" trước vị ngữ) \(P\) : "7 không chia hết cho 5" ; \(\overline{P}\) : "7 chia hết cho 5" 4. Mệnh đề kéo theo Mệnh đề kéo theo có dạng: “Nếu A thì B” (kí hiệu là A =>B), trong đó A và B là hai mệnh đề. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo như sau: - Nếu mệnh đề A đúng, khi đó mệnh đề A => B là đúng nếu B đúng và sai nếu B sai. - Nếu mệnh đề A sai thì bất kể B là đúng hay sai thì mệnh đề A => B luôn đúng. Như vậy ta thường xét tính đúng sai của A => B khi A đúng (còn khi A sai thì mệnh đề luôn đúng rồi và không cần xét) Ví dụ: Mệnh đề: "-3 < -2 => (-3)2 < (-2)2 " là mện đề sai (vì A đúng nhưng B sai) Mệnh đề "\(\sqrt{3}< 2\) => 3 < 4 " là mệnh đề đúng (vì A đúng và B đúng) Mệnh đề "Phương trình \(x^2=-1\) có nghiệm nguyên => Phương trình \(3x^2=-3\) có nghiệm nguyên" là mệnh đề đúng (Vì A sai) 5. Mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương Mệnh đề “B=>A” là mệnh đề đảo của mệnh đề "A => B". Chú ý: - Mệnh đề đảo khác với mệnh đề phủ định. (chỉ các mệnh đề kéo theo mới có mệnh đề đảo còn mệnh đề nào cũng đều có mệnh đề phủ định với nó) - Mệnh đề đảo của mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề đúng - Nếu mệnh đề thuận (A => B) và mệnh đề đảo (B => A) đều đúng thì ta nói hai mệnh đề A và B là tương đương (kí hiệu A <=> B) Ví dụ 1: - Mệnh đề thuận: "Nếu tam giác ABC là tam giác đều => tam giác ABC là tam giác cân" - Mệnh đề đảo: "Nếu tam giác ABC cân => tam giác ABC là tam giác đều" Rõ ràng mệnh đề thuận là đúng nhưng mệnh đề đảo là sai. Ví dụ 2: - Mệnh đề thuận: "Nếu tam giác ABC là tam giác đều => tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng $60^o$" - Mệnh đề đảo: "Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60o => tam giác ABC là tam giác đều" Trong ví dụ này hai mệnh đề thuận và đảo đều đúng. Khi đó ta có mệnh đề tương đương sau: "Nếu tam giác ABC là tam giác đều <=> tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng 60o" 6. Kí hiệu ∀, kí hiệu ∃ Kí hiệu ∀ và ∃ dùng để biểu diễn ngắn gọn trong các mệnh đề chứa biến. Cho mệnh đề chứa biến: P(x), trong đó x là biến nhận giá trị từ tập hợp X. – Câu khẳng định: Với x bất kì tuộc X thì P(x) là mệnh đề đúng được kí hiệu là: ∀ x ∈ X : P(x). – Câu khẳng định: Có ít nhất một x ∈ X (hay tồn tại x ∈ X) để P(x) là mệnh đề đúng kí hiệu là ∃ x ∈ X : P(x). Ví dụ 1: Mệnh đề: "Bình phương của mọi số thực đều lớn hớn hoặc bằng 0" có thể biểu diễn ngắn gọn bởi mệnh đề sử dụng kí hiệu ∀ như sau: "∀ x \(\in\) R : x2 \(\ge\) 0" Ví dụ 2: Mệnh đề: "Có số tự nhiên chia hết cho 9" có thể phát biểu ngắn gọn như sau" "∃ n \(\in\) N : n \(⋮\) 9" Như vậy, với một mệnh đề chứa biến x (ví dụ: P(x) : "x chia hết cho 2"), ta chưa xác định được tính đúng/sai của mệnh đề. Để xác định được tính đúng/sai, ta có 3 cách: - Gán biến x bởi 1 giá trị cụ thể, ví dụ P(2) là mệnh đề đúng; P(3) là mệnh đề sai - Đăt kí hiệu ∀ x trước mệnh đề chứa biến: ∀x P(x). Mệnh đề này đúng nếu nó đúng với tất cả các giá trị của x - Đăt kí hiệu ∃ x trước mệnh đề chứa biến: ∃x P(x). Mệnh đề này đúng nếu nó có một giá trị của x làm cho P(x) đúng.
Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? 1) Cố lên, sắp đến đích rồi ! 2) Số 15 là số nguyên tố. 3) Tổng các góc của một tam giác là \(180^0\) 4) x là số nguyên dương. 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: " Cố lên, sắp đến đích rồi!" là một câu cảm thán, không có tính đúng sai nên không là mệnh để. " x là số nguyên dương " không phải là mệnh đề mà chỉ là mệnh đề chứa biến. " 15 là số nguyên tố" là mệnh đề sai; " Tổng các góc của một tam giác là \(180^0\) " là mệnh đề đúng. Vậy trong 4 câu đã cho có 2 câu là mệnh đề.
Trong các câu sau có bao nhiêu câu là mệnh đề? 1) Hôm nay là thứ mấy? 2) \(2\le3\). 3) Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình bình hành. 4) \(\left(-2\right)< 1\Rightarrow\left(-2\right)^2< 1^2\) 0 1 2 3 Hướng dẫn giải: " Hôm nay là thứ mấy" là câu hỏi, không phải là mệnh đề. Ba câu còn lại là những mệnh đề: " \(2\le3\) " là mệnh đề đúng; " Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình bình hành " cũng là mệnh đề đúng; " \(\left(-2\right)< 1\Rightarrow\left(-2\right)^2< 1^2\) " là mệnh đề sai. Số mệnh để là 3.
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Bạn học trường nào? Đi ngủ đi! Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. Không được làm việc riêng trong giờ học. Hướng dẫn giải: " Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới " là mệnh đề đúng. Các câu còn lại là những câu nghi vấn, mệnh lệnh, không phải là mệnh đề.
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? Buồn ngủ quá! Băng cốc là thủ đô của Mianma. 8 là số chính phương. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: " Buồn ngủ quá !" là câu cảm thán, không phải là mệnh đề. Các câu còn lại đều là mệnh đề.
Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau P: " Dơi là một loài chim " Dơi là động vật có vú. Chim cùng loài với dơi. Dơi không phải là một loài chim. Dơi là một loài động vật ăn trái cây.
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng? Con thấp hơn cha Anh khỏe hơn em \(-2\le1\) Kết quả phép chia 11 cho 3 là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hướng dẫn giải: Các câu " Con thấp hơn cha" , "Anh khỏe hơn em " có thể đúng, cũng có thể sai . Câu " Kết quả phép chia 11 cho 3 là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn " không đúng vì \(11:3=3,6666...\) là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Câu " \(-2\le1\)" là mệnh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? " \(\exists x\in R,x^2+1>0\) " " \(\forall x\in R,x^2+1\ge0\)" " Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc" " Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc đều là hình thoi" Hướng dẫn giải: Trên trục hoành lấy hai điểm A(-1;0), C(2;0). Trên trục tung lấy C(0;-1), D(0;3) . Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD vuông góc nhau nhưng ABCD không phải là hình bình hnanhf nên cũng không là hình thoi. Mện đề: " Mọi tứ giác có hai đường chéo vuông góc đều là hình thoi" là mệnh đề sai.
Xét mệnh đề chứa biến P(n) = " số tự nhiên n có tổng các chữ số là số chính phương ". Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? P(3) P(15) P(2421) P(123) Hướng dẫn giải: Số n = 2421 có tổng các chữ số là 9 là số chính phương. Vì vậy P(2421) là mênh đề đúng.
Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào có mệnh đề đảo đúng? Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nhau. Hướng dẫn giải: - Số nguyên n có chữ số tận cùng là 0 cũng chia hết cho 5. Vì vậy mệnh đề đảo của " Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5" là mệnh đề sai. - Lấy A(-1;0), B(0;-1), C(3;0) , D(0;3) thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhât. Vì vậy " Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau " có mệnh đề đảo sai. - Lấy A(-1;0), B(0;-1), C(3;0) , D(0;3) thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nhau nhưng không phải là hình thoi. Vì vậy " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nhau " có mệnh đề đảo sai.
